章末质量评估(四)(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．复数等于()．A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析＝＝＝1＋i.答案A2．i是虚数单位，等于()．A.－iB.＋iC.＋iD.－i解析＝＝＝＝＋i.答案B3．复数z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模为()．A．2cosB．－2cosC．2sinD．－2sin解析|z|＝＝＝＝2.∵π<α<2π，∴<<π，∴cos<0，∴2＝－2cos.答案B4．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹为()．A．一个圆B．线段C．两点D．两个圆解析∵|z|2－2|z|－3＝0，∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，∴|z|＝3表示一个圆．答案A5．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为()．A．3－iB．1＋3iC．3＋iD．1－3i解析＝zi＋z＝z(1＋i)＝4＋2i，∴z＝＝＝＝3－i.答案A6．已知z＝，则1＋z50＋z100的值是()．A．3B．1C．2＋iD．i解析z50＝50＝25＝i25＝i.∴1＋z50＋z100＝i.答案D7．复数z＝在复平面上对应的点不可能位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析z＝＝[(m－2i)(1－2i)]＝[(m－4)－2(m＋1)i]．若在第一象限，则∴无解．答案A8．若复数z满足|z|－＝，则z等于()．A．－3＋4iB．－3－4iC．3－4iD．3＋4i答案D9．满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是()．A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆解析∵|z|＝5，由模的几何意义知：复数z对应点Z到原点的距离为5，选C.答案C10．若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为()．A．2kπ－(k∈Z)B．2kπ＋(k∈Z)C．2kπ±(k∈Z)D．kπ＋(k∈Z)解析∵∴∴∴∴θ＝2kπ＋(k∈Z)．答案B二、填空题(每小题5分，共30分)11．复数i2(1＋i)的实部是________．解析i2(1＋i)＝－1－i，所以实部是－1.答案－112．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i(t∈R)，且z1·是实数，则实数t等于__________．解析z1·2＝(3＋4i)·(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i是实数，故4t－3＝0，t＝.答案13．设a是实数，且＋是实数，则a等于__________．解析∵＋＝＋＝＋i为实数，∴＝0，∴a＝1.答案114.已知复数z1＝a2＋2a－3＋(a－3)i，z2＝a－1＋(a2＋2a－1)i(a∈R)分别对应向量OZ1、OZ2(O为原点)，若Z1，Z2两点关于x轴对称，则a的值为________．解析∵Z1，Z2关于x轴对称，∴Z1，Z2实部相等，虚部互为相反数，∴解得a＝1.答案115．若复数z满足关系式z(1＋i)＝2，则z的共轭复数为________．解析由题意得z＝＝＝1－i，因此复数z的共轭复数等于1＋i.答案1＋i16．已知关于x的方程x2＋(1＋2i)x－(3m－1)i＝0有实根，则纯虚数m的值是__________．解析方程有实根，不妨设其一个根为x0，设m＝ai(a∈R)，代入，得x＋(1＋2i)x0－(3ai－1)i＝0，化简，得(2x0＋1)i＋x＋x0＋3a＝0.由性质可得解得a＝，∴m＝i.答案i三、解答题(共40分)17．(10分)复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，且a2＋b2＝25，z2＝3＋4i，z1·z2是纯虚数，求z1.解z1·z2＝(a＋bi)(3＋4i)＝(3a－4b)＋(4a＋3b)i.∵z1·z2是纯虚数，∴3a－4b＝0且4a＋3b≠0.①又a2＋b2＝25，②由①②解得或∴z1＝4＋3i或z1＝－4－3i.18．(10分)已知z0＝2＋2i，|z－z0|＝.(1)求复数z在复平面内的对应点的轨迹；(2)求z为何值时|z|有最小值，并求出|z|的最小值．解(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－z0|＝，得：|x＋yi－(2＋2i)|＝|(x－2)＋(y－2)i|＝，解得：(x－2)2＋(y－2)2＝2.∴复数z点的轨迹为以z0(2,2)为圆心，为半径的圆．(2)当z点在Oz0的连线上时，|z|有最大值或最小值，∵|Oz0|＝2，半径为.∴当z＝1＋i时，|z|min＝.19．(10分)已知复数z＝1＋i，求实数a、b使az＋2b＝(a＋2z)2.解∵z＝1＋i，∴az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.∵a、b都是实数，∴由az＋2b＝(a＋2z)2，得解得a1＝－2，a2＝－4，对应得b1＝－1，b2＝2.∴所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2.20．(10分)设存在复数z同时满足下列条件：(1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限；(2)z＋2iz＝8＋ai(a∈R)．试求a的取值范围．解设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi.由(1)知x<0，y>0.又由(2)z＋2iz＝8＋ai(a∈R)，得(x＋yi)(x－yi)＋2i(x＋yi)＝8＋ai(a∈R)，即(x2＋y2－2y)＋2xi＝8＋ai(a∈R)，所以所以4(y－1)2＝36－a2.因为4(y－1)2≥0，所以36－a2≥0，即a2≤36，所以－6≤a≤6.又因为a＝2x，而x<0，所以a<0，所以－6≤a<0.故所求a的取值范围是[－6,0)．
