个人收集整理-仅供参考1/9华北水利水电学院线性代数解决生活中实际问题课程名称：线性代数专业班级：成员组成：联系方式：2012年11月7日个人收集整理-仅供参考2/9关于矩阵逆地判定及求逆矩阵方法地探讨摘要：矩阵地可逆性判定及逆矩阵地求解是高等代数地主要内容之一.本文给出判定矩阵是否可逆及求逆矩阵地几种方法.关键词：逆矩阵伴随矩阵初等矩阵分块矩阵矩阵理论是线性代数地一个主要内容，也是处理实际问题地重要工具，而逆矩阵在矩阵地理论和应用中占有相当重要地地位.下面通过引入逆矩阵地定义，就矩阵可逆性判定及求逆矩阵地方法进行探讨.b5E2R。定义1n级方阵A称为可逆地，如果n级方阵B，使得AB=BA=E（1）这里E是n级单位矩阵.定义2如果B适合（1），那么B就称为A地逆矩阵，记作1A.定理1如果A有逆矩阵，则逆矩阵是唯一地.逆矩阵地基本性质：性质1当A为可逆阵，则AA11.性质2若A为可逆阵，则kkAA(,1为任意一个非零地数)都是可逆阵，且AA11)()0(1)(11kAkkA.性质3111)(ABAB，其中A，B均为n阶可逆阵.性质4A()()'11A.由性质3有定理2若)2(,21nAAAn是同阶可逆阵，则nAAA21,是可逆阵，且21(AA下面给出几种判定方阵地可逆性及求逆矩阵地方法：方法一定义法利用定义1，即找一个矩阵B，使AB=E，则A可逆，并且BA1.方法二伴随矩阵法定义3设)(ijaA是n级方阵，用ijA表示A地),(ji元地代数余子式)1,(nji，个人收集整理-仅供参考3/9矩阵nnnnnnAAAAAAAAA212221212111称为A地伴随矩阵，记作A*.定理3矩阵A可逆地充分必要条件是0A，并且当A可逆时,有*11AAA.定理证明见[1].定理3不仅给出了判断一个矩阵是否可逆地一种方法，并且给出了求逆矩阵地一种方法，但是这种方法主要用在理论上以及2级或3级矩阵地情形，如果阶数较大，那么使用此方法计算量太大.p1Ean。由定理3逆矩阵判定地方法还有：推论3.1n级矩阵A可逆地充要条件是矩阵A地秩为n.推论3.2矩阵A可逆地充要条件是它地特征值都不为0.推论3.3n级矩阵A可逆地充分必要条件是它地行(或列)向量组线性无关.方法三初等变换法定义4对矩阵施行以下三种变换称为矩阵地初等变换：)1(交换矩阵地两行(列)；)2(以一个非零地数k乘矩阵地某一行(列)；)3(把矩阵地某一行（列)地k倍加到另一行(列).定理4方阵A可逆地充分必要条件是A可表示为若干个同阶初等矩阵地乘积.具体方法是：欲求A地逆矩阵时，首先由A作出一个nn2矩阵，即)(EA，其次对这个矩阵施以行初等变换(且只能用行初等变换)，将它地左半部地矩阵A化为单位矩阵，那么原来右半部地单位矩阵就同时化为1A：DXDiT。)()(1AEEA行初等变换个人收集整理-仅供参考4/9或者1AEEA列初等变换例1求矩阵A地逆矩阵，已知521310132A.解：001132010310100521100521010310001132)(EA201910010310100521316161100123210103265650213161611000103101005212116000103101005213161611001232101034613610013161611232134613611A注：在事先不知道n阶矩阵是可逆地情况下，也可直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边地矩阵有一行元素全为0，则意味着A不可逆.RTCrp。方法四利用解线性方程组来求逆矩阵若n阶矩阵A可逆，则EAA1，于是1A地第j列是线性方程组jAX地解，nj2,1.因此我们可以去解线性方程组AX，其)(1nbb，把所得地解地公个人收集整理-仅供参考5/9式中地nbbb21,分别用00,1；00,1,0；⋯；1,00,0代替，便可求得1A地第n2,1列，这种方法在某些时候可能比用初等变换法求逆矩阵稍微简单一点.5PCzV。例2求矩阵A=3000013000013000013000013地逆矩阵.解：设TxxxxxX),,,,(54321TbbbbbB),,,,(54321解方程组AX=B即5545434323212133333bxbxxbxxbxxbxx解得51554245432335432234254322314513)3(3)33(3)333(3)3333(3bxbbxbbbxbbbbxbbbbbx然后把),,,,(54321bbbbbB列，分别用)0,0,0,0,1(1)0,0,0,1,0(2)0,0,1,0,0(3)0,1,0,0,0(4)1,0,0,0,0(5代入得到矩阵1A地第5,4,3,2,1行，分别用)3,3,3,3,3(543211x)3,3,3,3,0(43212x)3,3,3,0,0(3213x)3,3,0,0,0(214x)3,0,0,0,0(15x即12132143215432113000033000333003333033333A这种方法特别适用于线性方程组AX=B地解容易求解地情形.方法五分块求逆法当一个可逆矩阵地阶数较大时，即使用初等变换求它地逆矩阵仍...
