第五章抽屉原理和Ramsey理论123第五章抽屉原理和Ramsey理论抽屉原理又称鸽巢原理或重叠原理，是组合数学中两大基本原理之一，是一个极其初等而又应用较广的数学原理。其道理并无深奥之处，且正确性也很明显。但若能灵活运用，便可能得到一些意料不到的结果。抽屉原理要解决的是存在性问题，即在具体的组合问题中，要计算某些特定问题求解的方案数，其前提就是要知道这些方案的存在性。1930年英国逻辑学家F.P.Ramsey将这个简单原理作了深刻推广，即Ramsey定理，也被称为广义抽屉原理。它是一个重要的组合定理，有许多应用。5.1抽屉原理（一）基本形式定理5.1.1（基本形式）将n＋1个物品放入n个抽屉，则至少有一个抽屉中的物品数不少于两个。证反证之。将抽屉编号为：1,2,⋯,n，设第i个抽屉放有iq个物品，则121nqqqn但若定理结论不成立，即1iq，即有nqqq21≤n，从而有nqqqnn211矛盾。例5.1.1一年365天，今有366人，那么，其中至少有两人在同一天过生日。注：与概率的区别：抽屉原理讲的是所给出的结论是必然成立的，即100%成立。而概率反映的是不确定性现象发生的可能性问题，不讨论100%成立的确定性概率问题。生日悖论：随机选出n个人，则其中至少有二人同一天出生的概率为APn=nnP3651365特例：AP23=50.73%，AP100=99.99997%例5.1.2箱子中放有10双手套，从中随意取出11只，则至少有两只是完整配对的。第五章抽屉原理和Ramsey理论124（二）推广形式定理5.1.2（推广形式）将121nqqqn个物品放入n个抽屉，则下列事件至少有一个成立：即第i个抽屉的物品数不少于iq个。（证）反证。不然，设第i个抽屉的物品数小于iq（i＝1,2,⋯,n）(即该抽屉最多有1iq个物品)，则有11nqnii＝物品总数≤nqqniinii111与假设矛盾。121nqqqn=111121nqqq（三）特例推论1将n(r－1)＋1个物品放入n个抽屉，则至少有一个抽屉中物品个数不少于r个。推论2将m个物品放入n个抽屉，则至少有一个抽屉中物品个数不少于11nm＝nm个。其中x表示取x的整数部分，x表示不小于x的最小整数。推论3若n个正整数niqi,,21满足121rnqqqn则至少存在一个iq，满足rqi。（四）例例5.1.3有n位代表参加会议，若每位代表至少认识另外一个代表，则会议上至少有两人认识的人数相同。(证)设某代表认识的人数为k个，则121nk,,,（视为n－1个抽屉）。而会议上有n个代表，故每位代表认识的人数共为n个数（视为n个物品）。那么，由基本定理，结论成立。第五章抽屉原理和Ramsey理论125例5.1.4任意一群人中，必有两人有相同数目的朋友。(证)设有n个人2n，分三种情形讨论：(1)每人都有朋友，由例5.1.3即知结论成立；(2)只有一人无朋友，余下的n－1人都有朋友，由(1)知此n－1人中必有两人有相同数目的朋友；(3)有两人或两人以上的人无朋友，则朋友数为零的人已经有两个了，同样满足条件。例5.1.5边长为2的正方形内有5个点，其中至少有两点，距离不超过2。(证)首先制造抽屉：将原正方形各对边中点相连，构成4个边长为1的小正方形（见图5.1.1(a)），视为抽屉。其次，由基本原理，至少有一个小正方形里点数不少于2。最后，从几何角度可以看出，同一小正方形内的两点的距离不超过小正方形的对角线之长度2，证毕。**********图5.1.1抽屉的选择注意，如果抽屉选择不当，可能于事无益。如图5.1.1(b)，将正方形分为4个直角边长为2的等腰直角三角形是达不到目的的。5.2应用例5.2.1任意三个整数，必有两个之和为偶数（其差也为偶数）。(证)制造两个抽屉：“奇数”和“偶数”，3个数放入两个抽屉，必有一个抽屉中至少有两个数，由整数求和的奇、偶性质即知此二数之和必为偶数。同理可知，二者之差也为偶数。另一提法任给3个整数，其中必存在两个整数，其和能被2整除。证明．记这3数为321,,aaa，令iiarmod2则ir=0，1（i=1，2，3）。第五章抽屉原理和Ramsey理论126以0，1为两个抽屉，3个ia为物品，以ir决定将ia放入哪个抽屉。由抽屉原理，某个抽屉中至少有两个ia，其除以2的余数相同。那么，此2数即满足要求。扩展问题：任给n个整数，其中必存在3个整数，其和能被3整除。问n最小应为多少？常规思路：n=7（证明思路同上）但7不是最少数字，最小的n=5。证明．记这5个数为521...
