9.7双曲线一、填空题1．已知双曲线－＝1的离心率是，则n＝________.解析a2＝n，b2＝12－n，c2＝a2＋b2＝12，离心率e＝＝＝，所以n＝4.答案42．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．解析焦点(c,0)到渐近线y＝x的距离为＝b，则由题意知b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2，∴离心率e＝＝.答案3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线8kx2－ky2＝8的渐近线方程为________．解析由8kx2－ky2＝8，得其渐近线方程为8kx2－ky2＝0(k≠0)，即y2＝8x2，所以y＝±2x.答案y＝±2x4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为________．解析由题意可知，解得答案－＝15．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是________．解析考查双曲线的定义.＝e＝＝2，d为点M到右准线x＝1的距离，d＝2，MF＝4.答案46．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为________．解析由题意得⇒⇒c＝＝.∴双曲线的焦距2c＝2.答案27．设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且PF1·PF2＝0，则|PF1＋PF2|＝________.解析如图，由PF1·PF2＝0可得PF1⊥PF2，又由向量加法的平行四边形法则可知▱PF1QF2为矩形，因为矩形的对角线相等，故有|PF1＋PF2|＝|PQ|＝2c＝2.答案28．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点、右焦点分别为A、F，它的左准线与x轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为________．解析由题意知，B，A(a,0)，F(c,0)，于是A是线段BF的中点，得c－＝2a，∴c2－a2＝2ac，∴e2－2e－1＝0.又e＞1，所以e＝＋1.答案＋19．已知点P是双曲线x2－y2＝2上的点，该点关于实轴的对称点为Q，则OP·OQ＝________.解析设P(x，y)，则Q(x，－y)，且x2－y2＝2.所以OP·OQ＝(x，y)·(x，－y)＝x2－y2＝2.答案210．如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A、B为左、右焦点，且双曲线过C、D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由题意得B(2,0)，C(2,3)，∴解得∴双曲线的标准方程为x2－＝1.答案x2－＝111．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)(m＞0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是________．解析由抛物线定义，得1＋＝5，所以p＝8，从而M(1,4)，又A(－a,0)，于是由＝，得a＝.答案12.已知双曲线b>0)的一条渐近线方程是它的一个焦点在抛物线的准线上,则双曲线的方程为________．解析 双曲线b>0)的渐近线方程为∴.① 抛物线的准线方程为x=-6,∴-c=-6.②又.③由①②③得.∴.∴双曲线方程为.答案13．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积是________．解析由可解得又由F1F2＝10可得△PF1F2是直角三角形，则S△PF1F2＝PF1×PF2＝24.答案24二、解答题14．设双曲线－＝1(b＞a＞0)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率．解析由l过两点(a,0)、(0，b)，得l的方程为bx＋ay－ab＝0.由原点到l的距离为c，得＝c.将b＝代入，平方后整理，得162－16×＋3＝0.令＝x，则16x2－16x＋3＝0，解得x＝或x＝.由e＝，得e＝，故e＝或e＝2. 0＜a＜b，∴e＝＝＝＞，∴应舍去e＝，故所求离心率e＝2.15．求适合下列条件的双曲线方程．(1)焦点在y轴上，且过点(3，－4)、.(2)已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，且双曲线经过点P(，2)．解析(1)设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则因为点(3，－4)，在双曲线上，所以点的坐标满足方程，由此得令m＝，n＝，则方程组化为解方程组得∴a2＝16，b2＝9.所求双曲线方程为－＝1.(2)由双曲线的渐近线方程y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)． 双曲线过点P(，2)，∴－＝λ，λ＝－，故所求双曲线方程为y2－x2＝1.16．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在...
