结构动力学DynamicsofStructures第六章分布参数体系Chapter6ContinuousSystems华南理工大学土木工程系马海涛/陈太聪结构动力学第六章分布参数体系0of24华南理工大学土木与交通学院土木工程系本章主要目的及内容目的:了解具有分布质量弹性连续体的动力分析方法;初步掌握一维结构的运动方程的建立和简单问题求解.内容:?梁的偏微分运动方程?梁的自振频率和振型?振型的正交性?用振型叠加法计算梁的动力反应结构动力学第六章分布参数体系1of24华南理工大学土木与交通学院土木工程系§6.1梁的偏微分运动方程剪切变形-Euler梁、Timoshenko梁转动惯量阻尼影响§6.1.1弯曲梁（欧拉梁）的横向振动方程结构动力学第六章分布参数体系2of24华南理工大学土木与交通学院土木工程系§6.1梁的偏微分运动方程Euler梁静力平衡方程:?2?x2??u(x,t)??EI(x)?=P(x,t)2?x??2惯性力－分布强度:?u(x,t)fI(x)=m(x)2?t2Euler梁动力平衡方程:?2?x结构动力学2??u(x,t)??u(x,t)?EI(x)?=P(x,t)-m(x)22?x?t??223of24华南理工大学土木与交通学院土木工程系第六章分布参数体系§6.1梁的偏微分运动方程等截面梁的运动方程:?u(x,t)?u(x,t)m+EI=P(x,t)24?t?x24运动方程:2??u(x,t)??u(x,t)?m(x)+2?EI(x)?=P(x,t)22?t?x??x?22Euler梁动力平衡方程:?2?x结构动力学2??u(x,t)??u(x,t)?EI(x)?=P(x,t)-m(x)22?x?t??224of24华南理工大学土木与交通学院土木工程系第六章分布参数体系§6.1梁的偏微分运动方程等截面梁的运动方程:?u(x,t)?u(x,t)m+EI=P(x,t)24?t?x24四阶偏微分方程（Afourthorderpartialdifferentialequation）(1)比较静力情形:du(x)EI=P(x)4dx4(2)假设条件:Euler梁理论忽略转动惯量影响结构动力学第六章分布参数体系24华南理工大学土木与交通学院土木工程系§6.1.5考虑阻尼影响的梁的振动方程结构动力学第六章分布参数体系6of24华南理工大学土木与交通学院土木工程系§6.1.5考虑阻尼影响的梁的振动方程横向阻尼力(分布线密度)?u(x,t)fD(x)=-c(x)?t梁内阻尼弯矩?ε阻尼应力σD=cs?t?ε(x,η,t)MD(x)=∫σDηdA=∫csηdA?tAA32?u(x,t)???u?=∫csη?-2η?dA=-csI(x)2?t??x??t?xA第六章分布参数体系7of24华南理工大学土木与交通学院土木工程系结构动力学§6.1.5考虑阻尼影响的梁的振动方程无阻尼梁的震动方程?u(x,t)?m(x)+22?t?x22??u(x,t)??EI(x)?=P(x,t)2?x??2考虑阻尼力的贡献后,有?u(x,t)?u(x,t)m(x)+c(x)+2?t?t232?u(x,t)?u(x,t)???EI(x)+csI(x)?=P(x,t)2?22?x??x?x?t?2结构动力学第六章分布参数体系8of24华南理工大学土木与交通学院土木工程系§6.2梁的自振频率和振型§6.2.1弯曲梁的自振频率和振型欧拉梁的横向自由振动运动方程m或写成?u(x,t)2?t2+EI?u(x,t)4?x4=0?()?()()=,()′=?t?xiEI+u′′′′=0umu(x,t)=φ(x)q(t)使用分离变量法(themethodofseparationofvariables)代入方程后，可得结构动力学第六章分布参数体系EI(t)=-φ′′′′(x)q(t)φ(x)qm9of24华南理工大学土木与交通学院土木工程系§6.2.1弯曲梁的自振频率和振型于是有(t)φ′′′′(x)mq=-φxEIqt命(t)EIφ′′′′(x)q2=ω=-mφxqt2q(t)+ωq(t)=04′′′′φ(x)-aφ(x)=0可得两个常微分方程分别求解式中a＝结构动力学4ωmEI10of24华南理工大学土木与交通学院土木工程系2第六章分布参数体系§6.2.1弯曲梁的自振频率和振型方程(t)+ωq(t)=0q2通解为q(t)=A1sinωt+B1cosωt对给定初始条件，有q(t)=(0)qωsinωt+q(0)cosωt结构动力学第六章分布参数体系11of24华南理工大学土木与交通学院土木工程系§6.2.1弯曲梁的自振频率和振型方程φ′′′′(x)-aφ(x)=04设解为φ(x)=Cesx代入方程后，有特征方程(s解方程得4-a)Ce=04sxs1,2,3,4=±a,±ia方程的通解-iax-axiaxaxφ(x)=C1e+C2e+C3e+C4e结构动力学第六章分布参数体系12of24华南理工大学土木与交通学院土木工程系§6.2.1弯曲梁的自振频率和振型方程φ′′′′(x)-aφ(x)=04用三角函数和双曲函数可将通解表示为φ(x)=Asinax+Bcosax+Csinhax+Dcoshax其中双曲函数e-esinhax=2ax-axe+e,coshax=2ax-ax（1）A,B,C,D为待定常数，通过边界条件确定位移、斜率、剪力或弯矩的自由边界条件（2）齐次代数方程由非零...
