考研数学线代定理公式汇总2————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：3概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确(),nTArAnAAAxxAxAAxAAAE可逆的列（行）向量线性无关的特征值全不为0只有零解，0总有唯一解是正定矩阵R12,siAppppnBABEABE是初等阵存在阶矩阵使得或○注：全体n维实向量构成的集合nR叫做n维向量空间.()ArAnAAAAxA不可逆0的列（行）向量线性相关0是的特征值有非零解,其基础解系即为关于0的特征向量○注()()abraEbAnaEbAaEbAx有非零解=-4:;具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同()√关于12,,,neee：①称为n?的标准基，n?中的自然基，单位坐标向量87p教材；②12,,,neee线性无关；③12,,,1neee；④tr=En；⑤任意一个n维向量都可以用12,,,neee线性表示.行列式的定义1212121112121222()1212()nnnnnjjjnjjnjjjjnnnnaaaaaaDaaaaaaLLLLLMMML1√行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.5②若AB与都是方阵（不必同阶）,则==()mnAOAAOABOBOBBOAAABBOBO1（拉普拉斯展开式）③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.④关于副对角线：(1)211212112111()nnnnnnnnnnnaOaaaaaaaOaOKNN1（即：所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和）⑤范德蒙德行列式：1222212111112nijnjinnnnnxxxxxxxxxxxLLLMMML111矩阵的定义由mn个数排成的m行n列的表111212122212nnmmmnaaaaaaAaaaLLMMML称为mn矩阵.记作：ijmnAa或mnA伴随矩阵1121112222*12nTnijnnnnAAAAAAAAAAALLMMML，ijA为A中各个元素的代数余子式.√逆矩阵的求法:6①1AAA○注：1abdbcdcaadbc1LL主换位副变号②1()()AEEAMM初等行变换③1231111213aaaaaa3211111213aaaaaa√方阵的幂的性质：mnmnAAA()()mnmnAA√设,,mnnsABA的列向量为12,,,n,B的列向量为12,,,s，则msABC1112121222121212,,,,,,ssnsnnnsbbbbbbcccbbbLLLMMMLiiAc，(,,)isL1,2i为iAxc的解121212,,,,,,,,,sssAAAAcccL12,,,scccL可由12,,,n线性表示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵.同理：C的行向量能由B的行向量线性表示，TA为系数矩阵.即：1112111212222212nnnnmnnmaaacaaacaaacLLMMMMML11112212121122222211222nnmmmnmaaacaaacaaacLLLLLL7√用对角矩阵○左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；用对角矩阵○右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.√两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.√分块矩阵的转置矩阵：TTTTTABACCDBD分块矩阵的逆矩阵：111AABB111ABBA1111ACAACBOBOB1111AOAOCBBCAB分块对角阵相乘：11112222,ABABAB11112222ABABAB,1122nnnAAA分块对角阵的伴随矩阵：***ABABAB*(1)(1)mnmnAABBBA√矩阵方程的解法(0A)：设法化成AXBXAB(I)或(II)ABEXMM初等行变换(I)的解法：构造()()TTTTAXBXX(II)的解法：将等式两边转置化为，用(I)的方法求出，再转置得①零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.8②单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.（向量个数变动）④原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.（向量维数变动）⑤两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关114p教材.⑥向量组12,,,n中任一向量i(1≤i≤)n都是此向量组的线性组合.⑦向量组12,,,n线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n1个向量线性表示.向量组12,,,n线性无关向量组中每一个向量i都不能由其余n1个向量线性表示.⑧m维列向量组12,,,n线性相关()rAn；m维列向量组12,,,n线性无关()rAn.⑨若12,,,n线性无关，而12,,,,n线性相关,则可由12,,,n线性表示,且表示法唯一.⑩矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩.行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线...
