对偶单纯形法与单纯形法对比分析1．教学目标：通过对偶单纯形法的学习，加深对对偶问题的理解2．教学内容：1）对偶单纯形法的思想来源2）对偶单纯形法原理3．教学进程：1）讲述对偶单纯形法解法的来源：所谓对偶单纯形法，就是将单纯形法应用于对偶问题的计算，该方法是由美国数学家C.莱姆基于1954年提出的，它并不是求解对偶问题解的方法，而是利用对偶理论求解原问题的解的方法。2）为什么要引入对偶单纯形法：单纯形法是解线性规划的主要方法，对偶单纯形法则提高了求解线性规划问题的效率，因为它具有以下优点：（1）初始基解可以是非可行解,当检验数都为负值时,就可以进行基的变换,不需加入人工变量,从而简化计算；（2）对于变量多于约束条件的线性规划问题,用对偶单纯形法可以减少计算量,在灵敏度分析及求解整数规划的割平面法中,有时适宜用对偶规划单纯形法。由对偶问题的基本性质可以知道，线性规划的原问题及其对偶问题之间存在一组互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量；这些互相对应的变量如果在一个问题的解中是基变量，则在另一问题的解中是非基变量；将这对互补的基解分别代入原问题和对偶问题的目标函数有z=w。据此可知，用单纯形法求解线性规划问题时，在得到原问题的一个基可行解的同时，在检验数行得到对偶问题的一个基解，并且将两个解分别代入各自的目标函数时其值相等。我们知道，单纯形法计算的基本思路是保持原问题为可行解（这时一般其对偶问题为非可行解）的基础上，通过迭代，增大目标函数，当其对偶问题的解也为可行解时，就达到了目标函数的最优值。那么对偶单纯形法的基本思想可以理解为保持对偶问题为可行解（这时一般原问题为非可行解）的基础上，通过迭代，减小目标函数，当原问题也达到可行解时，即达到了目标函数的最优值。其实对偶单纯形法本质上就是单纯形法,只不过在运用时需要将单纯形表旋转一下而已。一.单纯形法和对偶单纯性法单纯形法是求解线性规划的主要方法,单纯形表则是单纯形法和对偶单纯形法的运算工具。设线性规划问题为MaxnjjjxcZ1),....,1(0),...,1(..1njmitsxbxajnjijij⑴将其化为标准形式，得MaxZ=CXs.t.0,XXssXbAX⑵其中),(CCNBC，)0,...,0,0(0CN，),(NBA，XXNBX，则其对应的线性约束转换为011XBXBXsNB，XBXBBXsNBb111，代入目标函数得XBCXBCCBCSBNBNBbZ111)(，相应的一个基解为bBXB1，0XN，0XS。显然，若01bB，且0)(1NBCCBN，01XBCSB，则基解01bXB为该线性规划的最优解,此时检验数均大于零,见表1。通过上面的分析,我们知道单纯形表的检验数实际上是目标函数中基变量、非基变量的价值系数,又由对偶理论知道它们是相应对偶问题的一个(加一个负号)基解。那么表中b列的数字仅仅表示的是XB的取值吗?我们可以猜想bB1很可能是对偶问题的检验数。这里首先给出问题(1)的对偶问题的一般形式Minmiiiybw1s.t.),....,1(0),...,1(1minjycyaimijiij⑶将问题（3）化为标准形式，得MinYBws.t.0,YYSSYCYA⑷由),(CCNBC，),(NBA，Ys为松弛变量，Ys相应分解为YsB、YsN，其中0),....,,(211yyyYmmmsB，0),....,,(22212yyyYnmmsN。得：CYBsBYB⑸CYNsNYN⑹由式⑸得到BYBCsBBY11⑺通过令0YsB，由式(5)得对偶问题的基解BCBY1,代入式(6)得CBCYNBsNN1,将式(7)对偶问题的目标函数得bbwBYBCsBB11。显然若目标函数达到最小,非基变量YsB的价值系数要求大于等于零,单纯形表b列01bB,即01bB实际上是对偶问题的非基变量检验数。二．对偶单纯形法的算法步骤(1)确定换出基的变量设原问题为（1），对偶问题为（3）。由),(),,(CCNBCNBA，不等式CYA则可分解为CCNBYNYB,(8)进一步添加松弛变量有等式（5）、（6），对等式（5）两端同时左乘B1有BCBYBsBY11(9)将BYsB1移至等式右端得BCBYBsBY11(10)由不等式（8）得0YBCB(11)0YNCN(12)将式（10）代入不等式（11）、（12）得011BBYBBYBCCCsBBBB(13)011NNYNBYBCCCsBBNN(14)将（13）、（14）合并得0),)((),(),(),(11NBNBYBYBCCCCCsBBNBNB(15)整理得011AACBYBCsBB(16)其中ACBCB1是单纯形表中X变量的检验数,记)(1jBACBC，(j=1,2,....,n),nmijaBAx'1)(矩阵，显然，若Y为基可行...
