近世代数的基础知识VIP专享VIP免费

近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classicalalgebra），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。近世代数（modernalgebra）又称为抽象代数（abstractalgebra），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。3．1集合、映射、二元运算和整数3．1．1集合集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。“元素a是集合A的元”记作“Ax”，反之，“Aa”表示“x不是集合A的元”。设有两个集合A和B，若对A中的任意一个元素a（记作Aa）均有Ba，则称A是B的子集，记作BA。若BA且AB，即A和B有完全相同的元素，则称它们相等，记作BA。若BA，但BA，则称A是B的真子集，或称B真包含A，记作BA。不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。例如：cbaA,,；)(xpxS，其中)(xp表示元素x具有的性质。本文中常用的集合及记号有：整数集合,3,2,1,0Z；非零整数集合,3,2,10ZZ；正整数（自然数）集合,3,2,1Z；有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。一个集合A的元素个数用A表示。当A中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。用A表示A是无限集，A表示A是有限集。3．1．2映射映射是函数概念的推广，它描述了两个集合的元素之间的关系。定义1设A，B为两个非空集合，若存在一个A到B的对应关系f，使得对A中的每一个元素x，都有B中唯一确定的一个元素y与之对应，则称f是A到B的一个映射，记作y=f(x)。y称为x的像，x称为y的原像，A称为f的定义域，B称为f的定值域。定义2设f是A到B的一个映射(1)若Axx21,和21xx均有)()(21xfxf，则称f是一个单射。(2)若By均有Ax使yxf)(，则称f是满射。(3)若f既是单射又是满射，则称f是双射。3．1．3二元运算3．1．3．1集合的笛卡儿积由两个集合可以用如下方法构造一个新的集合。定义3设A，B是两个非空集合，由A的一个元素a和B的一个元素b可构成一个有序的元素对（a,b），所有这样的元素对构成的集合，称为A与B的笛卡儿积，记作BA，即BbAabaBA,),(。用笛卡儿积还可定义一个集合中的运算。定义4设S是一个非空集合，若有一个对应规则f，对S中每一对元素a和b都规定了一个唯一的元素Sc与之对应，即f是SSS的一个映射，则此对应规则就称为S中的一个二元运算，并表示为cba?，其中“?”表示运算符，若运算“?”是通常的加法或乘法，ba?就分别记作ba或ab。由定义可见，一个二元运算必须满足：(1)封闭性：Sba?；(2)唯一性：ba?是唯一确定的。定义5设S是一个非空集合，若在S中定义了一种运算?（或若干种运算+，?，等），则称S是一个代数系统，记作（S，?）或（S，+，?）等。3．1．3．2二元关系我们经常需要研究两个集合元素之间的关系或者一个集合内元素间的关系。定义6设A，B是两个集合，若规定一种规则R：使对Aa和对Bb均可确定a和b是否适合这个规则，若适合这个规则，就说a和b有二元关系R，记作aRb，否则就说a和b没有二元关系R，记作bRa。3．1．2．3等价关系和等价类等价关系是集合中一类重要的二元关系。定义7设～是集合A上的一个二元关系，满足以下条件：(1)对Aa，有a～a；（反身性）(2)对Aba,，有a～bb～a；（对称性）(3)对Acba,,，有a～b和b～ca～c。（传递性）则称～为A中的一个等价关系。子集axAxxa~,即所有与a等价的元素的集合，称为a所在的一个等价类，a称为这个等价类的代表元。例如：设n是一取定的正整数，在整数集合Z中定义一个二元关系)(modn如下：)()(modbannba，这个二元关系称为模n的同余（关系），a与b模n同余指a和b分别用n来除所得的余数相同。同余关系是一个等价关系，每一个等价类记作)(mod,naxZxxa称为一个同余类或剩余类。3．1．4整数在近世代数中整数是最基本的代数系。这里仅重述有关整数的基本性质和常用概念。3．1．4．1整数的运算整数的运算包括加、减、乘、除、开方、乘方、...