高考数学一轮总复习 7.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题题组训练 理 苏教版VIP免费

第3讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则OA·OM的取值范围是________．解析OA·OM＝(－1,1)·(x，y)＝y－x，画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示．可以看出当z＝y－x过点D(1,1)时有最小值0，过点C(0,2)时有最大值2，则OA·OM的取值范围是[0,2]．答案[0,2]2．(·泰安模拟)不等式组所表示的平面区域的面积为_____．解析作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2.由得yD＝，所以S△BCD＝×(xC－xB)×＝.答案3．(·杭州模拟)在约束条件下，目标函数z＝x＋y的最大值为________．解析由z＝x＋y，得y＝－2x＋2z.作出可行域如图阴影部分，平移直线y＝－2x＋2z，当直线经过点C时，直线y＝－2x＋2z在y轴上的截距最大，此时z最大．由解得C点坐标为，代入z＝x＋y，得z＝＋×＝.答案4．(·陕西卷改编)若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为________．解析如图，曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z＝2x－y，则y＝2x－z，作直线y＝2x，在封闭区域内平行移动直线y＝2x，当经过点(－2,2)时，z取得最小值，此时z＝2×(－2)－2＝－6.答案－65．(·四川卷改编)若变量x，y满足约束条件且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是________．解析画出可行域，如图所示．由图可知，当目标函数过A点时有最大值；过B点时有最小值．联立得⇒故A(4,4)；对x＋y＝8，令y＝0，则x＝8，故B(8,0)，所以a＝5×4－4＝16，b＝5×0－8＝－8，则a－b＝16－(－8)＝24.答案246．(·安徽卷)若非负变量x，y满足约束条件则x＋y的最大值为________．解析根据题目中的约束条件画出可行域，注意到x，y非负，得可行域为如图所示的阴影部分(包括边界)．作直线y＝－x，并向上平移，当直线过点A(4,0)时，x＋y取得最大值，最大值为4.答案47．(·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．解析如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O到直线x＋y－2＝0的垂线段长是|OM|的最小值，∴|OM|min＝＝.答案8．(·淮安质检)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．解析画出可行域，知当直线y＝a在x－y＋5＝0与y轴的交点(0,5)和x－y＋5＝0与x＝2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形．故5≤a<7.答案[5,7)二、解答题9．(·合肥模拟)画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x，y的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解(1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x∈，y∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．10．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解设投资人分别用x万元，y万元投资甲、乙两个项目，由题意知目标函数z＝x＋0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．将z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，这是斜率为－2随z变化的一组平行线，当直线y＝－2x＋2z经过可行域内的点M时，直线y＝－2x＋2z在y轴上的截距2z最大，z也最大．这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．解方程组得x＝4，y＝6，此时z＝4＋0.5×6＝7(万元)．∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值，所以投资人用4万元投...