解答题押题练B组1．设向量a＝(2，sinθ)，b＝(1，cosθ)，θ为锐角．(1)若a·b＝，求sinθ＋cosθ的值；(2)若a∥b，求sin的值．解(1)因为a·b＝2＋sinθcosθ＝，所以sinθcosθ＝.(2分)所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝.又因为θ为锐角，所以sinθ＋cosθ＝.(5分)(2)法一因为a∥b，所以tanθ＝2.(7分)所以sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝－.(11分)所以sin＝sin2θ＋cos2θ＝×＋×＝.(14分)法二因为a∥b，所以tanθ＝2.(7分)所以sinθ＝，cosθ＝.因此sin2θ＝2sinθcosθ＝，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－.(11分)所以sin＝sin2θ＋cos2θ＝×＋×＝.(14分)2．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC，点E在棱PB上，且PE＝2EB.(1)求证：平面PAB⊥平面PCB；(2)求证：PD∥平面EAC.解(1) PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.(3分)又BC⊂平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB.(6分)(2) PA⊥底面ABCD，又AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AD.又 PC⊥AD，又PC∩PA＝P，∴AD⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，∴AC⊥AD.在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB＝BC，得∠BAC＝，∴∠DCA＝∠BAC＝.又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形．(4分)∴DC＝AC＝(AB)＝2AB.连接BD，交AC于点M，则＝＝2.在△BPD中，＝＝2，∴PD∥EM又PD⊄平面EAC，EM⊂平面EAC，∴PD∥平面EAC.(14分)3．某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是：P(x)＝x(x＋1)(41－2x)(x≤12且x∈N*)(1)写出第x月的需求量f(x)的表达式；(2)若第x月的销售量g(x)＝(单位：件)，每件利润q(x)元与月份x的近似关系为：q(x)＝，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(e6≈403)解(1)当x＝1时，f(1)＝P(1)＝39.当x≥2时，f(x)＝P(x)－P(x－1)＝x(x＋1)(41－2x)－(x－1)x(43－2x)＝3x(14－x)．∴f(x)＝－3x2＋42x(x≤12，x∈N*)．(5分)(2)设月利润为h(x)，h(x)＝q(x)·g(x)＝h′(x)＝(9分) 当1≤x≤6时，h′(x)≥0，当6＜x＜7时，h′(x)＜0，∴当1≤x＜7且x∈N*时，h(x)max＝30e6≈12090，(11分) 当7≤x≤8时，h′(x)≥0，当8≤x≤12时，h′(x)≤0，∴当7≤x≤12且x∈N*时，h(x)max＝h(8)≈2987.综上，预计该商场第6个月的月利润达到最大，最大月利润约为12090元．(14分)4．如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上，下两个顶点为A，B，直线l：y＝－2，点P是椭圆上异于点A，B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点N，连接PB并延长交直线l于点M，设AP所在的直线的斜率为k1，BP所在的直线的斜率为k2.若椭圆的离心率为，且过点A(0,1)．(1)求k1·k2的值；(2)求MN的最小值；(3)随着点P的变化，以MN为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出该定点；如不过定点，请说明理由．解(1)因为e＝＝，b＝1，解得a＝2，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2分)设椭圆上点P(x0，y0)，有＋y＝1，所以k1·k2＝·＝＝－.(4分)(2)因为M，N在直线l：y＝－2上，设M(x1，－2)，N(x2，－2)，由方程知＋y2＝1知，A(0,1)，B(0，－1)，所以KBM·kAN＝·＝，(6分)又由(1)知kAN·kBM＝k1·k2＝－，所以x1x2＝－12，(8分)不妨设x1＜0，则x2＞0，则MN＝|x1－x2|＝x2－x1＝x2＋≥2＝4，所以当且仅当x2＝－x1＝2时，MN取得最小值4.(10分)(3)设M(x1，－2)，N(x2，－2)，则以MN为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y＋2)2＝0，(12分)即x2＋(y＋2)2－12－(x1＋x2)x＝0，若圆过定点，则有x＝0，x2＋(y＋2)2－12＝0，解得x＝0，y＝－2±2，所以，无论点P如何变化，以MN为直径的圆恒过定点(0，－2±2)．(16分)5．已知函数f(x)＝－x3＋x2，g(x)＝alnx，a∈R.(1)若对任意x∈[1，e]，都有g(x)≥－x2＋(a＋2)x恒成立，求a的取值范围；(2)设F(x)＝若P是曲线y＝F(x)上异于原点O的任意一点，在曲线y＝F(x)上总存在另一点Q，使得△POQ中的∠POQ为钝角，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围．解(1)由g(x)≥－x2＋(a＋2)x，得(x－lnx)a≤x2－2x.由于x∈[1，e]，lnx≤1≤x，且等号不能同时取得，所以lnx＜x，x－lnx＞0.从而a...
