常考问题5三角函数的图象与性质(建议用时：50分钟)1．(·苏北四市模拟)若sin＝，则sin＝______.解析sin＝－cos＝－cos＝2sin2－1＝－.答案－2．(·浙江卷改编)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的______条件．解析φ＝⇒f(x)＝Acos＝－Asinωx为奇函数，∴“f(x)是奇函数”是“φ＝”的必要条件．又f(x)＝Acos(ωx＋φ)是奇函数⇒f(0)＝0⇒φ＝＋kπ(k∈Z)D/⇒φ＝.∴“f(x)是奇函数”不是“φ＝”的充分条件．答案必要不充分3．(·苏锡常镇模拟)已知cos＋sinα＝，则sin的值是________．解析cos＋sinα＝cosα＋sinα＝，∴cosα＋sinα＝，即sin＝.故sin＝－sin＝－.答案－4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为________．解析由f＝0知是f(x)图象的一个对称中心，又x＝是一条对称轴，所以应有解得ω≥2，即ω的最小值为2.答案25．(·湖北卷)将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是________．解析y＝cosx＋sinx＝2sin，向左平移m个单位长度后得到y＝2sin，由它关于y轴对称可得sin(＋m)＝±1，∴＋m＝kπ＋，k∈Z，∴m＝kπ＋，k∈Z，又m>0，∴m的最小值为.答案6．若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.解析由题意知f(x)的一条对称轴为直线x＝，和它相邻的一个对称中心为原点，则f(x)的周期T＝，从而ω＝.答案7．已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是______．解析由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin，那么当x∈时，－≤2x－≤，所以－≤sin(2x－)≤1，故f(x)∈.答案8．给出下列说法：①正切函数在定义域内是增函数；②函数f(x)＝2tan的单调递增区间是(k∈Z)；③函数y＝2tan的定义域是；④函数y＝tanx＋1在上的最大值为＋1，最小值为0.其中正确说法的序号是________．解析①正切函数在定义域内不具有单调性，故错误；②由kπ－＜x＋＜kπ＋(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，故正确；③由2x＋≠＋kπ(k∈Z)，解得x≠＋(k∈Z)，故错误；④因为函数y＝tanx＋1在上单调递增，所以x＝时取得最大值为＋1，x＝－时取得最小值为0，故正确，所以正确说法是②④.答案②④9．(·西安五校二次模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象的一部分如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．解(1)由图象知A＝2，T＝8＝，∴ω＝，得f(x)＝2sin.由×1＋φ＝2kπ＋⇒φ＝2kπ＋，又|φ|<，∴φ＝.∴f(x)＝2sin.(2)y＝2sin＋2sin＝2sin＋2cos.＝2sin＝2cosx，∵x∈，∴x∈，∴当x＝－，即x＝－时，y的最大值为；当x＝－π，即x＝－4时，y的最小值为－2.10．(·苏北四市调研)已知函数f(x)＝sin·sin＋sinxcosx(x∈R)．(1)求f的值；(2)在△ABC中，若f＝1，求sinB＋sinC的最大值．解(1)f(x)＝sinsin＋sinxcosx＝cos2x＋sin2x＝sin，所以f＝1.(2)由f＝1，有f＝sin＝1，因为0＜A＜π，所以A＋＝，即A＝.sinB＋sinC＝sinB＋sin＝sinB＋cosB＝sin.因为0＜B＜，所以＜B＋＜π，0＜sin≤1，所以sinB＋sinC的最大值为.11．(·湖南卷)已知函数f(x)＝sin＋cosx－，g(x)＝2sin2.(1)若α是第一象限角，且f(α)＝.求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．解f(x)＝sin＋cos＝sinx－cosx＋cosx＋sinx＝sinx，g(x)＝2sin2＝1－cosx.(1)由f(α)＝，得sinα＝，又α是第一象限角，所以cosα>0.从而g(α)＝1－cosα＝1－＝1－＝.(2)f(x)≥g(x)等价于sinx≥1－cosx，即sinx＋cosx≥1.于是sin≥.从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z}．备课札记：
