第3讲合情推理与演绎推理分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(·金陵中学模拟)观察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20…，，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为________．解析9－1＝(1＋2)2－12＝4(1＋1)，16－4＝(2＋2)2－22＝4(2＋1)，25－9＝(3＋2)2－32＝4(4＋1)，36－16＝(4＋2)2－42＝4×(5＋1)…，，一般地，有(n＋2)2－n2＝4(n＋1)(n∈N*)．答案(n＋2)2－n2＝4(n＋1)(n∈N*)2．(·南京模拟)在共有2013项的等差数列{an}中，有等式(a1＋a3…＋＋a2013)－(a2＋a4…＋＋a2012)＝a1007成立；类比上述性质，在共有2011项的等比数列{bn}中，相应的有等式________成立．解析将等式中加、减换成乘除可得＝b1006.答案＝b10063．(·苏锡镇调研(一))若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，且通项为＝a1＋(n－1)·.类似地，若各项均为正数的等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，前n项的积为Tn，则数列{}为等比数列，通项为________．解析由等差数列与等比数列的运算类比，可得＝b1()n－1.答案＝b1()n－14．(·常州七校联考)如果函数f(x)在区间D“”上是凸函数，则对于区间D内任意的x1，x2…，，xn≤，有f成立．已知函数y＝sinx在区间[0，π]“”上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．解析由凸函数定义，知sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝.答案5．(·南京外国语调研)将正奇数排列如图形式，其中第i行第j个数表示aij(i∈N*，j∈N*)，例如a32＝9，若aij＝2009，则i＋j＝________.135791113151719…解析根据正奇数排列的正三角图表知，2009是第1005个奇数，应排在i行(其中i∈N*)，则1＋2＋3…＋＋(i－1)＝＜1005①，且1＋2＋3…＋＋i＝＞1005②；验证i＝45时，①②式成立，所以i＝45；第45行第1个奇数是2×44×452＋1＝1981，而1981＋2(j－1)＝2009，∴j＝15；所以，2009在第45行第15个数，则i＋j＝60；答案606．(·镇江调研一)圆x2＋y2＝r2在点(x0，y0)处的切线方程为x0x＋y0y＝r2，类似地，可以求得椭圆＋＝1在(2,1)处的切线方程为________．解析由类比结构可知，相应的切线方程为：＋＝1，代入点坐标，所求切线方程为：＋＝1.答案＋＝1二、解答题(每小题15分，共30分)7．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三……边且等于第三边的；请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积V＝×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.8“”．定义等和数列：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，(1)求a18的值；(2)求该数列的前n项和Sn.解(1)由等和数列的定义，数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，易知a2n－1＝2，a2n＝3(n＝1,2…，)，故a18＝3.(2)当n为偶数时，Sn＝a1＋a2…＋＋an＝(a1＋a3…＋＋an－1)＋(a2＋a4…＋＋an)当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋an＝(n－1)＋2＝n－.综上所述：Sn＝分层训练B级创新能力提升1．已知m＞0，不等式x≥＋2，x≥＋3，x≥＋4，可推广为x≥＋n＋1，则m的值为________．解析x＋＝＋＋，x＋＝＋＋＋，易得其展开后各项之积为定值1，所以可猜想出x＋…＝＋＋＋＋，也满足各项乘积为定值1，于是m＝nn.答案nn2．(·福建)观察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推测m－n＋p＝________.解析m＝29＝512，p＝5×10＝50.又m－1280＋1120＋n＋p－1＝1，∴n＝－400.答案9623．(·苏北调研)如图是一个数表，第...
