第六编数列§6.1数列的概念及简单表示法基础自测1.下列对数列的理解有四种：①数列可以看成一个定义在N+（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数；②数列的项数是有限的；③数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是惟一的.其中说法正确的序号是（）A.①②③B.②③④C.①③D.①②③④答案C2.设an=-n2+10n+11，则数列{an}从首项到第几项的和最大（）A.10B.11C.10或11D.12答案C3.已知数列{an}的通项公式是an=，那么这个数列是（）A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列答案A4.已知数列{an}的通项公式是an=则a2·a3等于（）A.70B.28C.20D.8答案C5.（·北京理，6）已知数列{an}对任意的p,q∈N+满足ap+q=ap+aq且a2=-6,那么a10等于（）A.-165B.-33C.-30D.-21答案C例1写出下面各数列的一个通项公式：（1）3，5，7，9，…；（2），，，，，…；（3）-1，，-，，-，，…；（4），-1，，-，，-，…；（5）3，33，333，3333，….解（1）各项减去1后为正偶数，所以an=2n+1.（2）每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，…，所以an=.（3）奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子（-1）n；各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2-1，偶数项为2+1，所以an=（-1）n·.也可写为an=.（4）偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子（-1）n+1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7，9，11，13组成，而分子则是32+1，42+1，52+1，62+1，按照这样的规律第1、2两项可改写为，-，所以an=(-1)n+1·.（5）将数列各项改写为，，，，…，分母都是3，而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,…,所以an=(10n-1).例2已知数列的通项公式为an=.（1）0.98是不是它的项？（2）判断此数列的增减性.解（1）假设0.98是它的项，则存在正整数n,满足=0.98，∴n2=0.98n2+0.98. n=7时成立，∴0.98是它的项.（2）an+1-an==＞0.∴此数列为递增数列.例3（12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=,求an.解 当n≥2时，an=Sn-Sn-1,∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0，即-=2，4分∴数列是公差为2的等差数列.6分又S1=a1=，∴=2，∴=2+（n-1）·2=2n，∴Sn=.8分∴当n≥2时，an=-2SnSn-1=-2··=-，∴an=.12分1.根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：（1），，，，，…（2），2，，8，，…（3）5，55，555，5555，55555，…（4）5，0，-5，0，5，0，-5，0，…（5）1，3，7，15，31，…解（1）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式an=.（2）数列的项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察：，，，，，…，可得通项公式an=.（3）联想=10n-1,则an===(10n-1),即an=(10n-1).（4）数列的各项都具有周期性，联想基本数列1，0，-1，0，…，则an=5sin.（5） 1=2-1，3=22-1，7=23-1，…∴an=2n-1故所求数列的通项公式为an=2n-1.2.已知函数f（x）=2x-2-x，数列{an}满足f（log2an）=-2n.（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：数列{an}是递减数列.（1）解 f（x）=2x-2-x，∴f（log2an）=2-2=-2n，即an-=-2n.∴a+2n·an-1=0.∴an=，又an＞0，∴an=-n.（2）证明 an＞0，且an=-n,∴==＜1.∴an+1＜an.即{an}为递减数列.3.已知在正项数列{an}中，Sn表示前n项和且2=an+1，求an.解 2=an+1,∴Sn=(a+2an+1),∴Sn-1=(a+2an-1+1),∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=［（a-a）+2（an-an-1）］，整理可得：（an+an-1）（an-an-1-2）=0， an＞0，∴an-an-1=2，当n=1时，a1=1,∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列.∴an=2n-1(n∈N+).一、选择题1.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，…的第100项是（）A.14B.12C.13D.15答案A2.数列{an}中，a1=1,对于所有的n≥2，n∈N+都有a1·a2·a3·…·an=n2，则a3+a5等于（）A.B.C.D.答案A3.数列-1,，-，，…的一个通项公式an是（）A.B.C.D.答案D4.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷...
