第1讲平面向量的概念及其线性运算A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(·合肥检测)已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2OA＋OB＋OC＝0，那么()．A.AO＝ODB.AO＝2ODC.AO＝3ODD．2AO＝OD解析由2OA＋OB＋OC＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故AO＝OD.答案A2．已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则()．A．a－b＋c－d＝0B．a－b－c＋d＝0C．a＋b－c－d＝0D．a＋b＋c＋d＝0解析依题意，得AB＝DC，故AB＋CD＝0，即OB－OA＋OD－OC＝0，即有OA－OB＋OC－OD＝0，则a－b＋c－d＝0.选A.答案A3．已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若OA＋2OC＝3OB，则的值为()．A.B.C.D.解析由OA＋2OC＝3OB，得OA－OB＝2OB－2OC，即BA＝2CB，所以＝.故选A.答案A4．(·山东)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3＝λA1A2(λ∈R)，A1A4＝μA1A2(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下列说法正确的是()．A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C、D可能同时在线段AB上D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上解析若A成立，则λ＝，而＝0，不可能；同理B也不可能；若C成立，则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，＋＞2，与已知矛盾；若C，D同时在线段AB的延长线上时，λ＞1，且μ＞1，＋＜2，与已知矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上，故D正确．答案D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(·泰安模拟)设a，b是两个不共线向量，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．解析 BD＝BC＋CD＝2a－b，又A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使AB＝λBD.即∴p＝－1.答案－16.如图，在矩形ABCD中，|AB|＝1，|AD|＝2，设AB＝a，BC＝b，BD＝c，则|a＋b＋c|＝________.解析根据向量的三角形法则有|a＋b＋c|＝|AB＋BC＋BD|＝|AB＋BD＋AD|＝|AD＋AD|＝2|AD|＝4.答案4三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在平行四边形OADB中，设OA＝a，OB＝b，BM＝BC，CN＝CD.试用a，b表示OM，ON及MN.解由题意知，在平行四边形OADB中，BM＝BC＝BA＝(OA－OB)＝(a－b)＝a－b，则OM＝OB＋BM＝b＋a－b＝a＋b.ON＝OD＝(OA＋OB)＝(a＋b)＝a＋b，MN＝ON－OM＝(a＋b)－a－b＝a－b.8．(13分)(1)设两个非零向量e1，e2不共线，如果AB＝2e1＋3e2，BC＝6e1＋23e2，CD＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．(2)设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．(1)证明因为BC＝6e1＋23e2，CD＝4e1－8e2，所以BD＝BC＋CD＝10e1＋15e2.又因为AB＝2e1＋3e2，得BD＝5AB，即BD∥AB，又因为AB，BD有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)解DB＝CB－CD＝e1＋3e2－2e1＋e2＝4e2－e1，AB＝2e1＋ke2，若A，B，D共线，则AB∥DB，设DB＝λAB，所以⇒k＝－8.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(·济南一模)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足OP＝，则点P一定为三角形ABC的()．A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点(非重心)C．重心D．AB边的中点解析设AB的中点为M，则OA＋OB＝OM，∴OP＝(OM＋2OC)＝OM＋OC，即3OP＝OM＋2OC，也就是MP＝2PC，∴P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点．答案B2．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5AM＝AB＋3AC，则△ABM与△ABC的面积比为()．A.B.C.D.解析设AB的中点为D，由5AM＝AB＋3AC，得3AM－3AC＝2AD－2AM，即3CM＝2MD.如图所示，故C，M，D三点共线，且MD＝CD，也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，则△ABM与△ABC的面积比为，选C.答案C二、填空题(每小题5分，共10分)3．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状为________．解析OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC，∴|AB＋AC|＝|AB－AC|.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．答案直角三角形4.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB＝mAM，A...
