第6讲双曲线基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(·甘肃二次诊断)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±2x解析因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝2，所以c＝，所以a＝＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选B.答案B2．(·大纲全国卷)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于()A．2B．2C．4D．4解析由已知，得e＝＝2，所以a＝c，故b＝＝c，从而双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，由焦点到渐近线的距离为，得＝，解得c＝2，故2c＝4，故选C.答案C3．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()A．4B．8C．24D．48解析由可解得又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，则SPF1F2△＝|PF1|×|PF2|＝24.答案C4．(·山东卷)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()A．x±y＝0B.x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0解析椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，所以a4－b4＝a4，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.答案A5．(·重庆卷)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为()A.B.C.D．3解析由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝3b，所以(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|－|PF2|)2＝9b2－4a2，即4|PF1|·|PF2|＝9b2－4a2，又4|PF1|·|PF2|＝9ab，因此9b2－4a2＝9ab，即9－－4＝0，则＝0，解得＝，则双曲线的离心率e＝＝.答案B二、填空题6．(·北京卷)设双曲线C经过点(2，2)，且与－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________．解析设C的方程为－x2＝λ(λ≠0)，把点(2，2)代入上式得λ＝－3，所以C的方程为－＝1，其渐近线方程为y＝±2x.答案－＝1y＝±2x7．已知双曲线－＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆－＝1的焦距等于4，则n＝________．解析因为双曲线的焦点(0，2)，所以焦点在y轴上，所以双曲线的方程为－＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1.所以椭圆方程为＋x2＝1，且n＞0，椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)．答案58．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．解析由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.|PQ|∴＝4b＝16>2a.又 A(5，0)在线段PQ上，∴P，Q在双曲线的右支上，且PQ所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知∴|PF|＋|QF|＝28.PQF∴△的周长是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.答案44三、解答题9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．解椭圆D的两个焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.设双曲线G的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为r＝3.∴＝3，得a＝3，b＝4，∴双曲线G的方程为－＝1.10．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程；(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP＝PB，求△AOB的面积．解(1)依题意得解得故双曲线的方程为－x2＝1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设A(m，2m)，B(－n，2n)，其中m＞0，n＞0，由AP＝PB得点P的坐标为.将点P的坐标代入－x2＝1，整理得mn＝1.设∠AOB＝2θ， tan＝2，则tanθ＝，从而sin2θ＝.又|OA|＝m，|OB|＝n，SAOB∴△＝|OA||OB|sin2θ＝2mn＝2.能力提升题组(建议用时：25分钟)11．过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析由双曲线方程知右...
