等差数列求和1（邓筱娅）VIP免费

等差数列的前等差数列的前nn项和项和((一一))罗田县第一中学邓筱娅新课感知高斯是伟大的数学家，天文学家，当他很小的时候，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在给大家出道题目：1＋2＋…＋100＝？”过了两分钟，正当大家在：1＋2＝3；3＋3＝6；4＋6＝10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1＋2＋3＋…＋100＝5050”教师问：“你是如何算出答案的？”高斯回答说：“因为1＋100＝101；2＋99＝101；…，50＋51＝101；所以101×50＝5050.”这个故事告诉我们什么呢？•解：这个故事告诉我们：(1)作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．•(2)该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，即“倒序相加”法．自学探究►知识点一等差数列的前n项和公式1.一般地，称____________________为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝__________________.2．等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝________________Sn＝________________注意：这两个公式是可以相互转化的．把an＝a1＋(n－1)d代入Sn＝na1＋an2中，就可以得到Sn＝na1＋nn－12d.a1＋a2＋a3＋…＋ana1＋a2＋a3＋…＋anna1＋an2na1＋nn－1d2[思考]等差数列前n项和的两个公式有何不同？解：分析两个公式可得，它们的共同点是需要知道a1和n，不同点是公式Sn＝na1＋an2还需知道an，公式Sn＝na1＋nn－12d还需知道d，解题时需要根据已知条件选用公式．►知识点二等差数列的前n项和公式的应用因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，所以当n＝1时，S1＝a1，当n≥2时，Sn－1＝____________________________，故an＝_________________．a1＋a2＋a3＋…＋an－1S1（n＝1），Sn－Sn－1（n≥2）典例类析【例题演练】例在等差数列{an}中，已知a6＋a9＋a12＋a15＝34，求前20项之和．►题组一求等差数列{an}的前n项和Sn解：方法一：由已知a6＋a9＋a12＋a15＝4a1＋38d＝34，故S20＝20a1＋20×192d＝20a1＋190d＝5(4a1＋38d)＝5×34＝170.方法二：由S20＝a1＋a202·20＝10(a1＋a20)，而a6＋a15＝a9＋a12＝a1＋a20，所以a1＋a20＝17，所以S20＝10×17＝170.[点评]在解决等差数列的有关问题时，要熟练运用等差数列的一些性质．在第二种解法中，利用am＋an＝ap＋aq(m＋n＝p＋q)这一性质，简化了计算，是解决这类问题的常用方法．【变式巩固】1．[2013·广州模拟]已知等差数列{an}中，a5＝1，a3＝a2＋2，则S11＝________．[答案]33.[解析]d＝2，a6＝3，S11＝11a1＋a112＝11a6＝33.[答案]99.[解析]∵a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，∴3a4＝39，3a6＝27，∴a4＝13，a6＝9.∴a6－a4＝2d＝9－13＝－4，∴d＝－2，∴a5＝a4＋d＝13－2＝11，∴S9＝9（a1＋a9）2＝9a5＝99.2．在等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则S9＝________．►题组二等差数列的前n项和公式的应用【例题演练】例已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n2＋3n，试判断数列{an}是否是等差数列．解：因为Sn＝2n2＋3n，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n－2(n－1)2－3(n－1)＝4n＋1.当n＝1时，a1＝S1＝5＝4×1＋1，所以当n＝1时，适合an＝4n＋1，所以数列{an}的通项公式是an＝4n＋1，故数列{an}是等差数列．【变式巩固】若Sn＝2n2＋3n＋1，试判断该数列是否是等差数列．[点评](1)an与Sn的关系为an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.当n＝1适合于an时，则an＝Sn－Sn－1(n∈N*)．若n＝1不适合an，则通项公式应写成分段函数形式．(2)等差数列{an}中，若d≠0，则Sn可写成关于n的二次函数形式，反之，若Sn＝An2＋Bn，那么数列{an}一定是等差数列．第1课时│典例类析解：因为Sn＝2n2＋3n＋1，所以n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n＋1－2(n－1)2－3(n－1)－1＝4n＋1.当n＝1时，an＝S1＝6≠4×1＋1，所以an＝6（n＝1），4n＋1（n≥2），故数列{an}不是等差数列．