2012届高考数学二轮专题-导数及其应用针对训练-理VIP免费

导数及其应用一、选择题1．(2011年高考福建卷)(ex＋2x)dx等于()A．1B．e－1C．eD．e＋1解析：选C.(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|＝(e1＋12)－(e0＋02)＝e.2．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为()A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)解析：选C.由题意知x＞0，且f′(x)＝2x－2－，即f′(x)＝＞0，∴x2－x－2＞0，解得x＜－1或x＞2.又 x＞0，∴x＞2.3．函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是()A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点C．x＝－1不是函数f(x)的极值点D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点解析：选D.由题意，得x>－1，f′(x)>0或x<－1，f′(x)<0，但函数f(x)在x＝－1处未必连续，即x＝－1不一定是函数f(x)的极值点，故选D.4．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为()A．－B.C．－D.解析：选B.y′＝＝，故y′＝，∴曲线在点M处的切线的斜率为.5．由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()A.B．4C.D．6解析：选C.由，得其交点坐标为.因此y＝与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为dx＝dx＝＝×8－×16＋2×4＝.二、填空题6．函数f(x)＝x＋2cosx在区间[0，]上的单调递减区间是________．解析：f′(x)＝1－2sinx，令f′(x)≤0，即1－2sinx≤0，所以sinx≥.又 x∈[0，]，所以≤x≤，即函数f(x)的单调递减区间是.答案：7．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是________．用心爱心专心1解析：y′＝ex＋a，问题转化为“方程ex＋a＝0有大于零的实数根”，由方程解得x＝ln(－a)(a<0)，由题意得ln(－a)>0，即a<－1.答案：a<－18．已知函数f(x)＝xex，则f′(x)＝________；函数f(x)图象在点(0，f(0))处的切线方程为________．解析：依题意得f′(x)＝1·ex＋x·ex＝(1＋x)ex；f′(0)＝(1＋0)e0＝1，f(0)＝0·e0＝0，因此函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程是y－0＝x－0，即y＝x.答案：(1＋x)exy＝x三、解答题9．设a>0，函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋alnx.(1)若曲线y＝f(x)在(2，f(2))处切线的斜率为－1，求a的值；(2)当00，f′(x)＝x－(a＋1)＋.因为曲线y＝f(x)在(2，f(2))处切线的斜率为－1，所以f′(2)＝－1.即2－(a＋1)＋＝－1，所以a＝4.(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋＝＝，因00，函数f(x)单调递增；当x∈(a,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．此时x＝a是f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点．10．已知函数f(x)＝x2＋ax＋blnx(x>0，实数a，b为常数)．(1)若a＝1，b＝－1，求函数f(x)的极值；(2)若a＋b＝－2，且b<1，讨论函数f(x)的单调性．解：(1)函数f(x)＝x2＋x－lnx，则f′(x)＝2x＋1－，令f′(x)＝0，得x1＝－1(舍去)，x2＝.当0时，f′(x)>0，函数单调递增；∴f(x)在x＝处取得极小值＋ln2.(2)由于a＋b＝－2，则a＝－2－b，从而f(x)＝x2－(2＋b)x＋blnx，则f′(x)＝2x－(2＋b)＋＝，令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝1.①当≤0，即b≤0时，函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)；②当0<<1，即00)，其导函数y＝h′(x)的图象如图所示，f(x)＝lnx－h(x)．(1)求函数f(x)在x＝1处的切线斜率；(2)若函数f(x)在区间上是单调函数，求实数m的取值范围；(3)若函数y＝2x－lnx(x∈[1,4])的图象总在函数y＝f(x)的图象的上方，求c的取值范围．解：(1)由题知，h′(x)＝2ax＋b，其图象为直线，且过A(2，－1)、B(0,3)两点，∴，解得.∴h(x)＝－x2＋3x＋c.∴f(x)＝lnx－(－x2＋3x＋c)＝x2－3x－c＋lnx.∴f′(x)＝2x－3＋，∴f′(1)＝2－3＋＝0，所以函数f(x)在x＝1处的切线斜率为0.(2)由题意可知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f′(x)＝2x－3＋＝＝.令f′(x)＝0，得x＝或x＝1.当x变化时，f(x)、f′(x)随x的变化情况如下表：x1(...