算法案例（1）VIP专享VIP免费

359151.在小学，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的最大公约数吗？183023∴18和30的最大公约数是2×3=6.先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来.2.如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数?新课引入1.辗转相除法:求两个正数8251和6105的最大公约数。分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数.解：8251＝6105×1＋2146注：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。案例1辗转相除法与更相减损术例题剖析求两个正数8251和6105的最大公约数。解：8251＝6105×1＋2146;则37为8251与6105的最大公约数。以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。6105＝2146×2＋1813;2146＝1813×1＋333;1813＝333×5＋148;333＝148×2＋37;148＝37×4＋0.第一步：输入两个正整数m,n(m>n).第二步：计算m除以n所得的余数r.第三步：m=n,n=r.第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m；否则转到第二步.第五步：输出最大公约数m.诱思探究（2）算法步骤（1）算法分析：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。你能写出利用辗转相除法求最大公约数的程序吗？开始输入m,nr=mMODnm=nr=0?是否n=r输出m结束INPUT“m,n=“;m,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND（3）程序框图（4）程序利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数.课堂练习解：20723=4081×5+318;4081=318×12+265;318=265×1+53;265=53×5+0.所以4081与20723的最大公约数为53.2.更相减损术:我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母·子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。翻译出来为：第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。用更相减损术求98与63的最大公约数.解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，所以，98与63的最大公约数是7。98－63＝35;63－35＝28;35－28＝7;28－7＝21;21－7＝14;14－7＝7.例题剖析2用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。课堂练习解：把84与72分别除以2得：42，3621-18=318-3=1515-3=1212-3=99-3=66-3=3所以84与72的最大公约数为12.再分别除以2得：21，18辗转相除法与更相减损术的比较有何区别？（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主;计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.诱思探究2如何求324、243、135这三个数的最大公约数。思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。诱思探究3课堂小结本节课学习的主要内容：1.了解辗转相除法与更相减损术求两个正整数的最大公约数的算理；2.能用辗转相除法与更相减损术求两个正整数的最大公约数。课外作业1.课本第48页A组12.预习课本37~39内容