BC铅垂高水平宽ha图1二次函数——面积问题〖知识要点〗一．求面积常用方法：1.直接法（一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边）2.利用相似图形，面积比等于相似比的平方3.利用同底或同高三角形面积的关系4.割补后再做差或做和（三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解）二．常见图形及公式抛物线解析式y=ax2+bx+c(a≠0)抛物线与x轴两交点的距离AB=︱x1–x2︱=√Δ|a|抛物线顶点坐标（-b2a,4ac{−¿b24a）抛物线与y轴交点（0，c）“歪歪三角形中间砍一刀”SΔABC=12ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.1xyOABCPxyOABD〖基础习题〗1、若抛物线y=-x2–x+6与x轴交于A、B两点，则AB=，此抛物线与y轴交于点C，则C点的坐标为，△ABC的面积为.2、若抛物线y=x2+4x的顶点是P，与X轴的两个交点是C、D两点，则△PCD的面积是_____________.3、已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3，则b=，c=．〖典型例题〗面积最大问题1、二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点A（-1,0）、B（3，0），与y轴交于点C，∠ACB=90°.（1）求二次函数的解析式；（2）P为抛物线X轴上方一点，若使得△PAB面积最大，求P坐标（3）P为抛物线X轴上方一点，若使得四边形PABC面积最大，求P坐标(4)P为抛物线上一点，若使得SΔPAB=12SΔABC，求P点坐标。2yxBACO同高情况下，面积比=底边之比2．已知：如图，直线y=x﹣+3与x轴、y轴分别交于B、C，抛物线y=x﹣2+bx+c经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．（1）求B、C两点的坐标和抛物线的解析式；（2）若点P在直线BC上，且，求点P的坐标．3．已知：m、n是方程x26x﹣+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=x﹣2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；（注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．3三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半4．阅读材料：如图，过△ABC的三个顶点分别作出水平垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4）交x轴于点A，交y轴于点B（0，3）（1）求抛物线解析式和线段AB的长度；（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；（3）在第一象限内抛物线上求一点P，使S△PAB=S△CAB．法一：同底情况下，面积相等转化成平行线法二：同底情况下，面积相等转化成铅垂高相等4变式一：如图2，点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结PA，PB，是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．变式二：抛物线上是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明5点动+面积5．如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC．（2）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，把△APQ沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．6形动+面积6．如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标...
