课时跟踪训练(三十一)等差数列及其前n项和[基础巩固]一、选择题1．(2018·湖南衡阳二十六中期中)在等差数列{an}中，a3＝1，公差d＝2，则a8的值为()A．9B．10C．11D．12[解析]a8＝a3＋5d＝1＋5×2＝11，故选C.[答案]C2．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7，则a5＝()A．11B．10C．7D．3[解析]设数列{an}的公差为d，则有解得所以a5＝－2＋4×3＝10.故选B.[答案]B3．(2018·湖北武汉调研)设Sn是等差数列{an}的前n项和，S5＝3(a2＋a8)，则的值为()A.B.C.D.[解析]因为S5＝3(a2＋a8)，所以5a1＋10d＝3(2a1＋8d)，即a1＝－14d，所以＝＝＝.[答案]D4．(2017·安徽合肥二模)已知是等差数列，且a1＝1，a4＝4，则a10＝()A．－B．－C.D.[解析]由题意，得＝1，＝，所以等差数列的公差为d＝＝－，由此可得＝1＋(n－1)×＝－＋，因此＝－，所以a10＝－.故选A.[答案]A5．(2017·山西太原一模)在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，则a6＝()A．8B．6C．4D．3[解析]由等差数列的性质可知2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝2×3a3＋3×2a9＝6×2a6＝36，得a6＝3，故选D.[答案]D6．(2018·辽宁鞍山一中期末)等差数列{an}的前n项和为Sn，若m>1，且am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m等于()A．38B．20C．10D．9[解析]因为am－1＋am＋1－a＝0，所以am－1＋am＋1＝a.根据等差数列的性质得2am＝a，显然am≠0，所以am＝2.又因为S2m－1＝38，所以S2m－1＝＝(2m－1)am.将am＝2代入可得(2m－1)×2＝38，解得m＝10.故选C.[答案]C二、填空题17．(2016·江苏卷)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．[解析]设等差数列{an}的公差为d，则a1＋a＝a1＋(a1＋d)2＝－3，S5＝5a1＋10d＝10.解得a1＝－4，d＝3，则a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.[答案]208．(2018·广东深圳中学月考)已知数列{an}为等差数列，a3＝7，a1＋a7＝10，Sn为其前n项和，则使Sn取到最大值的n等于________．[解析]设等差数列{an}的公差为d，由题意得故d＝a4－a3＝－2，an＝a3＋(n－3)d＝7－2(n－3)＝13－2n.令an>0，得n<6.5，所以在等差数列{an}中，其前6项均为正，其他各项均为负，于是使Sn取到最大值的n的值为6.[答案]69．(2017·辽宁师大附中期末)等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________.[解析]在等差数列中，S19＝19a10，T19＝19b10，因此＝＝＝.[答案]三、解答题10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝，证明：是等差数列．[证明] an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＝－2Sn·Sn－1，∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0.∴－＝2(n≥2)．由等差数列的定义知是以＝＝2为首项，以2为公差的等差数列．[能力提升]11．(2017·河南百校联盟质监)等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知a2016＝2016，且－＝2000，则a1等于()A．－2016B．－2015C．－2014D．－2013[解析]解法一：因为Sn＝，所以＝.因为－＝2000，所以＝＝2000，所以d＝2.又因为a2016＝2016，所以a1＋(2016－1)×2＝2016，解得a1＝－2014，故选C.解法二：因为Sn＝na1＋d，所以＝n＋a1－，故是以a1为首项，以为公差的等差数列．所以－＝2000×＝2000，所以d＝2.所以a2016＝a1＋(2016－1)×2＝2016，所以a1＝－2014.故选C.解法三：由题意得解得故选C.[答案]C12．(2018·黑龙江齐齐哈尔月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为()A．6B．7C．12D．13[解析]设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d. a6＋a7＝a3＋a10>0，即2a1＋11d>0，且a6a7<0，a1>0，∴a6>0，a7<0.∴d＝a7－a6<0.又 a7＝a1＋6d<0，∴2a1＋12d<0.当Sn＝2＝>0时，2a1＋(n－1)d>0.由2a1＋11d>0,2a1＋12d<0知n－1最大为11，即n最大为12.故选C.[答案]C13．(2016·长安一中月考)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．[解析] a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0. a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<0.∴数列的前8项和最大，即n＝8.[答案]814．(2017·安徽合肥一中第三次段考)已知数列{an}是各项为正且首项为1的等差数列，Sn为其前n项和，若数列{}也为...
