解答题专题练(二)数列(建议用时：60分钟)1．(2015·临沂诊断考试)在等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的前n项和Sn.2．等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．3．已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.4．(2015·枣庄第一次模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝λSn＋1(n∈N*，λ≠－1)，且a1，2a2，a3＋3为等差数列{bn}的前三项．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列{anbn}的前n项和．5．(2015·威海模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，满足an＋Sn＝An2＋Bn＋1(A≠0)．(1)若a1＝，a2＝，求证数列{an－n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)已知数列{an}是等差数列，求的值．6．已知数列{an}满足a1＝且an＋1＝an－a(n∈N*)．(1)证明：1<≤2(n∈N*)；(2)设数列{a}的前n项和为Sn，证明：<≤(n∈N*)．解答题专题练(二)数列1．解：(1)设数列{an}的公比为q，因为{an}为等比数列，所以＝q3＝8，所以q＝2，所以an＝2×2n－1＝2n.(2)设数列{bn}的公差为d，因为b3＝a3＝23＝8，b5＝a5＝25＝32，且{bn}为等差数列，所以b5－b3＝24＝2d，所以d＝12，所以b1＝b3－2d＝－16，所以Sn＝－16n＋×12＝6n2－22n.2．解：(1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.(2)由(1)可得bn＝2n＋n，所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝＋＝(211－2)＋55＝211＋53＝2101.3．解：(1)由题设知a1·a4＝a2·a3＝8，又a1＋a4＝9，可解得或(舍去)．由a4＝a1q3得公比q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1.(2)Sn＝＝2n－1.又bn＝＝＝－，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝1－.4．解：(1)法一：因为an＋1＝λSn＋1(n∈N*)，所以an＝λSn－1＋1(n≥2)，所以an＋1－an＝λan，即an＋1＝(λ＋1)an(n≥2)，λ＋1≠0，又a1＝1，a2＝λS1＋1＝λ＋1，所以数列{an}是以1为首项，公比为λ＋1的等比数列，所以a3＝(λ＋1)2，4(λ＋1)＝1＋(λ＋1)2＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，解得λ＝1，所以an＝2n－1，bn＝1＋3(n－1)＝3n－2.法二：因为a1＝1，an＋1＝λSn＋1(n∈N*)，所以a2＝λS1＋1＝λ＋1，a3＝λS2＋1＝λ(1＋λ＋1)＋1＝λ2＋2λ＋1，所以4(λ＋1)＝1＋λ2＋2λ＋1＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，解得λ＝1，所以an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，所以an＝Sn－1＋1(n≥2)，所以an＋1－an＝an(n≥2)，即an＋1＝2an(n≥2)，又a1＝1，a2＝2，所以数列{an}是以1为首项，公比为2的等比数列，所以an＝2n－1，bn＝1＋3(n－1)＝3n－2.(2)由(1)知，anbn＝(3n－2)×2n－1，设Tn为数列{anbn}的前n项和，所以Tn＝1×1＋4×21＋7×22＋…＋(3n－2)×2n－1，①所以2Tn＝1×21＋4×22＋7×23＋…＋(3n－5)×2n－1＋(3n－2)×2n.②①－②得，－Tn＝1×1＋3×21＋3×22＋…＋3×2n－1－(3n－2)×2n＝1＋3×－(3n－2)×2n，整理得：Tn＝(3n－5)×2n＋5.5．解：(1)分别令n＝1，2，代入条件得又a1＝，a2＝，解得因为an＋Sn＝n2＋n＋1，①所以an＋1＋Sn＋1＝(n＋1)2＋(n＋1)＋1.②②－①得2an＋1－an＝n＋2.则an＋1－(n＋1)＝(an－n)．因为a1－1＝≠0，所以数列{an－n}是首项为，公比为的等比数列．所以an－n＝，则an＝n＋.(2)因为数列{an}是等差数列，所以设an＝dn＋c，则Sn＝＝n2＋n.所以an＋Sn＝n2＋n＋c.所以A＝，B＝c＋，c＝1.所以＝3.6．证明：(1)由题意得an＋1－an＝－a≤0，即an＋1≤an，故an≤.由an＝(1－an－1)an－1得an＝(1－an－1)(1－an－2)…(1－a1)a1>0.由0
