高中数学构造椭圆模型解证三角问题学法指导VIP免费

高中数学构造椭圆模型解证三角问题对于一些具有特征的三角问题，我们可以通过构造椭圆模型来求解或证明，现分类举例说明如下：例1.已知coscossinsin42421ABAB，求证：coscossinsin42421BABA。分析：这是一道纯粹的三角命题，由题中等式的形状可联想到构造一个椭圆方程。证明：设椭圆C：xByB22221cossin由题设知点MAAcossin22，在椭圆C上又NBBcossin22，也满足椭圆C可知点N也在椭圆上过点N的椭圆C的切线方程为xBByBBcoscossinsin22221即xy1，又点M也满足xy1所以点M也在此切线上故点M和点N重合coscossinsin2222ABBA，所以coscossinsincoscossinsin424242421BABABBBB例2.已知在△ABC中，ACBCAB108，，试求tantanAB22·之值。解：机敏的读者一下子发现了一个熟悉的图形：椭圆。这样，思路纳入了解析几何的轨道，下面的解法，当然与解析几何紧密地联系在一起了。如图1所示，设椭圆的长轴为2a，焦距为2c。则||sin||sin||sin()BCAACBABAB（正弦定理）图1∴22aABcABsinsinsin()（合比定理，椭圆定义）即sin()sinsinABABca45用心爱心专心∴··22222245sincossincosABABABAB则tantanAB2219·丰富的想象，是数向形转化的前提，外形的启发。例3.设ab0，求证：aba22222coscossinsin。证明：构造椭圆xaybab222210，（图2）图2设AabBabcossincossin，，，则不等式的左端即为椭圆上两点A，B间的距离易知ABa2成立。例4.求yxx152sincos的极值。解：把原式变形为yxx512sincos则y为过两点pQxx215，，，cossin的直线斜率图3而Q是椭圆5522xy上任一点直线PQ的极值位置是过点p的椭圆的切线，构造椭圆xy2251设过点p21，的椭圆的切线的斜率为k则切线方程为ykxk25(*)将p21，代入（*），得：3440223212kkkk∴，用心爱心专心∴原函数的极大值为2，极小值为23用心爱心专心