课时素养评价十一基本不等式的应用(15分钟35分)1.已知a>b>0,全集为R,集合M=xb
b>0结合基本不等式可得,a>>>b,故P=M∩(RN).2.某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则()A.x=B.x≤C.x>D.x≥【解析】选B.由条件知A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,所以(1+x)2=(1+a)(1+b)≤,所以1+x≤1+,故x≤.3.已知a>0,b>0,ab=1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是()A.3B.4C.5D.6【解题指南】利用“1”的代换解题.【解析】选B.因为ab=1,所以m=b+=2b,n=a+=2a,所以m+n=2(a+b)≥4=4.当且仅当a=b=1时,等号成立.【补偿训练】若实数a,b满足+=,则ab的最小值为()A.B.2C.2D.4【解析】选C.由题意知a>0,b>0,则+≥2=,当且仅当=,即b=2a时等号成立.所以≥,即ab≥2.4.周长为+1的直角三角形面积的最大值为.【解析】设直角三角形的两条直角边边长分别为a,b,则+1=a+b+≥2+,解得ab≤,当且仅当a=b=时取等号,所以直角三角形面积S≤,即S的最大值为.答案:5.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=.【解析】总运费与总存储费用之和f(x)=4x+×4=4x+≥2=160,当且仅当4x=,即x=20时取等号.答案:206.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:(1)ab+bc+ac≤.(2)++≥1.【证明】(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c.故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c.所以++≥1.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.若x,y为正数,且+2y=3,则的最大值为()A.B.C.D.【解析】选D.由x,y为正数得3=+2y≥2,所以≤,≤,当且仅当x=,y=时等号成立.2.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2,形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是()A.6.5mB.6.8mC.7mD.7.2m【解析】选C.设两直角边分别为a,b,直角三角形框架的周长为l,则ab=2,所以ab=4,l=a+b+≥2+=4+2≈6.828(m).因为要求够用且浪费最少,故应选择7m长的铁丝.3.已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,则m的最大值为()A.9B.12C.18D.24【解析】选B.由+≥得m≤(a+3b)=++6,又++6≥2+6=12,当且仅当=,即a=3b时等号成立.所以m≤12,所以m的最大值为12.【补偿训练】设a>0,b>0,且不等式++≥0恒成立,则实数k的最小值等于()A.0B.4C.-4D.-2【解析】选C.由++≥0,得k≥,而=++2≥4,当且仅当a=b时,等号成立,所以-≤-4,因此要使k≥-恒成立,应有k≥-4,即实数k的最小值等于-4.4.若x,y为正数,则+的最小值是()A.3B.C.4D.【解析】选C.+=++≥4,当且仅当即x=y=时等号成立.【误区警示】同一题目中多次用基本不等式,必须保证每次用时等号成立的条件相同.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知a>0,b>0,a+b=1,对于代数式1+1+,下列说法正确的是()A.最小值为9B.最大值是9C.当a=b=时取得最小值D.当a=b=时取得最大值【解析】选AC.=1+1+=·=5+2≥5+4=9.当且仅当a=b=时,取等号.6.某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是()A.该单位每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低B.该单位每月最低可获利20000元C.该单位每月不获利,也不亏损D.每月需要国家至少补贴40000元才能使该单位不亏损【解析】选AD.由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为=x+-200≥2-200=200,当且仅当x=,即x=400时等号成立,故该单位月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元.设该单位每月获利为S元,则S=100x-y=100x-=-x2+300x-80000=-(x-300)2-35000,因为x∈[400,600],所以S∈[-80000,-40000].故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损....
