9.8.2圆锥曲线的最值问题考点一几何法求最值1.设P是椭圆+=1上一点,M,N分别是两圆:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为()A.9,12B.8,11C.8,12D.10,122.已知点A是抛物线C:y2=4x上的一个动点,点A到直线x-y+3=0的距离为d1,到直线x=-2的距离为d2,则d1+d2的最小值为()A.+2B.2C.+3D.2+1【解析】1.选C.如图,由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点A,B,由椭圆定义知|PA|+|PB|=2a=10,连接PA,PB分别与圆相交于两点,此时|PM|+|PN|最小,最小值为|PA|+|PB|-2R=8;连接PA,PB并延长,分别与圆相交于两点,此时|PM|+|PN|最大,最大值为|PA|+|PB|+2R=12,即最小值和最大值分别为8,12.2.选D.抛物线的焦点为F(1,0),准线为x=-1,则d2=|AF|+1.故d1+d2=|AF|+d1+1.显然,当点A为点F到直线x-y+3=0的垂线段与抛物线的交点时,|AF|+d1取到最小值d==12.故d1+d2的最小值为2+1.几何方法求解圆锥曲线中的最值问题,即通过圆锥曲线的定义、几何性质将最值转化,利用平面几何中的定理、性质,结合图形的直观性求解最值问题.常用的结论有:(1)两点间线段最短;(2)点到直线的垂线段最短.考点二代数法求最值问题命题精解读考什么:(1)考查圆锥曲线中相关最值问题的求解;(2)考查数学建模、数学运算以及逻辑推理的核心素养以及函数与方程、转化与化归等数学思想方法.怎么考:(1)涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;(2)求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.新趋势:最值问题与函数、不等式等其他知识相结合学霸好方法1.代数法求解最值问题的解题思路首先需要根据题目的条件和结论找出明确的函数关系,建立起目标函数,然后转化为函数的最值求解,最值常用基本不等式法、配方法、函数单调性法等求解.2.交汇问题求解函数最值,要根据函数解析式的结构特征灵活变形,采用相应的方法求解利用基本不等式求最值【典例】已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2为它的左、右焦点,P为椭圆上一点,已知∠F1PF2=60°,=,且椭圆的离心率为.(1)求椭圆方程.(2)已知T(-4,0),过T的直线与椭圆交于M,N两点,求△MNF1面积的最大值.2【解题导思】序号题目拆解(1)求参数a,b利用椭圆的定义和几何性质,转化已知,建立方程组求解.(2)①求M,N两点坐标的关系设直线方程,直线方程和椭圆方程联立方程组,消元后利用根与系数的关系建立坐标的关系式②求△MNF1的面积利用点F1,把所求三角形的面积用两个三角形面积之差表示,从而进行坐标运算,建立面积模型③求面积的最值根据式子的结构特征,通过化简构造基本不等式求解最值【解析】(1)由已知,得|PF1|+|PF2|=2a,①|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=4c2,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=4c2,②|PF1||PF2|sin60°=,即|PF1||PF2|=4,③联立①②③解得a2-c2=3.又=,所以c2=1,a2=4,b2=a2-c2=3,椭圆方程为+=1.(2)根据题意可知直线MN的斜率存在,且不为0.设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为x=my-4,代入椭圆方程整理得(3m2+4)y2-24my+36=0,则Δ=(-24m)2-4×36×(3m2+4)>0,所以m2>4.y1+y2=,y1y2=,则△MNF1的面积=|-|3=|TF1|·|y1-y2|===18=6×=6×≤=.当且仅当=,即m2=时(此时适合Δ>0的条件)取得等号.故△MNF1面积的最大值为.利用函数单调性求最值【典例】已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,A为椭圆C上一点,AF1与y轴交于点B,|AB|=|F2B|,|OB|=.(1)求椭圆C的方程.(2)过右焦点F2的直线y=k(x-2)(k≠0)交椭圆于P、Q两点,若PQ的中点为N,O为原点,直线ON交直线x=3于点M.求的最大值.【解题导思】序号题目拆解4(1)求参数a,b利用椭圆的几何性质,转化已知,建立方程组求解(2)①求N点坐标直线和椭圆方程联立方程组,消元后利用根与系数的关系求N点坐标②求M点坐标求直线ON方程,与直线x=3联立,即可求得M点坐标③求利用坐标分别表示出两条线段的长度,构建目标函数④求最值根据目标函数结构特征,通过换元转化为二次函数的最值问题求解【解析】(1)连接AF2,由题意得|AB|=|F2B|=|F1B|,所以BO为△F1AF2的中位线,又因为BO⊥F1F2,所以AF2⊥F1F2,且|AF2|=2|BO|==,又e==,a2=b2+c2,得a2=6,b2=2,故所求椭圆方程为+=1.(2)联立,可得(3k2+1)x2-12k2x+12k2-6=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2...
