高中数学方差在解题中的应用专题辅导VIP专享VIP免费

高中数学方差在解题中的应用初中代数中曾介绍过一组数据的方差，设aaaan123,,,…。记anaaaan1123()…，那么snaaaaaan2122221[()()()]…叫做这组数据的方差。运算变形后得：snaaaan21222221()…。灵活运用s20（当且仅当aaaan12…时取“=”号）进行解题，可以收到很好的效果。1.巧用方差解题例1.已知abab001，，，求证：ab12122证明：令uab12120，则ab1212与的平均数Mu2。方差sabu22221212220()()()整理得44022uu，，即ab12122当且仅当ab1212，且ab1，即ab12时取“=”号。例2.已知abcabc1212()，求abc,,的值。分析：数abc,,12的平均数aabc16()方差sabcabc222221312160[()()()][()]整理得[()]16102abc当且仅当abcabc1216()时取“=”号。又知161()abc所以abc121求得abc123，，例3.求满足方程xyxy222113()()的一切实数x，y的值。解：设数据xyxy，，()1的平均数为axyxy13113[()()()]方差sxyxya22222131[()()]19132()用心爱心专心当且仅当xyxya113时，s20此时xy1323，小结：在构造不等式中，要设法使不等号的一边变成常数和注意等号成立的条件。2.引伸，推广成定理定理：若aaaRn12,,，…，则naaaaaann()()12222122……证明：因为n个数aaan12,,,…的方差snaaanaaannn21222212210[()()]……，化简得naaaaaann()()12222122……。当且仅当aaanaaann12121……()时，取“=”号。该定理反映了“n个数的平方和”与“n个数的和的平方”之间的内在联系。例4.已知abcRabc,,，且1，求证13113113143abc证明：由定理知31311311311311311312222[()()()]()abcabc所以()[()]1311311313133482abcabc，即13113113143abc。当且仅当131131131113abcabcabc，，即时取“=”号。例2.已知abRab,且1，求证()()aabb1125222证明：由定理知21111222[()()][()()]aabbaabb，所以()()[]aabbab1112111222又知11114ababab()()，所以1115ab，则()111252ab所以()()aabb1125222当且仅当aabbab11且，即ab12时取“=”号。例3.设abcdR,,,，且abcdabacadbcbdcd283,，求bcd的最大值与最小值。解：由以上定理知32222()()bcdbcd（1）令ubcd则au2（2）用心爱心专心又知()()abcdabcdabacadbcbdcd222222，所以bcda22224163（3）（2），（3）代入（1）式得uu2340，所以14u可知ubcd的最大值为4，此时bcdbcdaubcdbcdbcda343213133，；的最小值为，此时，用心爱心专心