湖南省新田一中高中数学必修二课时作业：4.2.2圆与圆的位置关系基础达标1．集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r＞0}，且M∩N＝N，则r的取值范围是()．A．(0，－1)B．(0，1]C．(0，2－]D．(0，2]解析由已知M∩N＝N知N⊆M，∴圆x2＋y2＝4与圆(x－1)2＋(y－1)2＝r2相内切或内含，∴2－r≥，r≤2－.答案C2．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋m2＝4，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＝8－m2(m＞3)，则两圆的位置关系是()．A．相交B．内切C．外切D．外离解析将两圆方程分别化为标准式圆C1：(x－m)2＋y2＝4，圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝9.则|C1C2|＝＝＞＝5＝2＋3，∴两圆外离．答案D3．在坐标平面内，与点A(1，2)距离为1，且与点B(3，1)距离为2的直线共有()．A．1条B．2条C．3条D．4条解析满足要求的直线应为圆心分别为A、B半径为1和2的两圆的外公切线，而圆A与圆B相交，所以公切线有两条．答案B4．点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为________．解析如下图．设连心线OC与圆O交于点P′，与圆C交于点Q′，当点P在P′处，点Q在Q′处时|PQ|最小，最小值为|P′Q′|＝|OC|－r1－r2＝1.答案15．两圆x2＋y2－x＋y－2＝0和x2＋y2＝5的公共弦长为________．②－①得两圆的公共弦所在的直线方程为x－y－3＝0，∴圆x2＋y2＝5的圆心到该直线的距离为d＝＝，1设公共弦长为l，∴l＝2＝.答案6．两圆相交于两点(1，3)和(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________．解析由平面几何性质知：两相交圆圆心的连线与两圆的公共弦垂直，且经过弦的中点，则＝－1，得m＝5，∴弦中点坐标为(3，1)，∴3－1＋c＝0，得c＝－2，∴m＋c＝3.答案37．求过点A(0，6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆的方程．解法一将圆C化为标准方程得(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，则圆心坐标为(－5，－5)，所以经过此圆心和原点的直线方程为x－y＝0.设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得解得于是所求圆的方程是(x－3)2＋(y－3)2＝18.法二由题意知所求的圆经过点(0，0)和(0，6)，所以圆心一定在直线y＝3上，又由解法一知圆心在直线x－y＝0上，所以由得圆心坐标为(3，3)．所以r＝＝3，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18.能力提升8．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|＝()．A．4B．4C．8D．8解析∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4，1)，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，∴|C1C2|＝＝＝8.答案C9．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．解析可转化为圆C的圆心到直线y＝kx－2的距离不大于2.圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4，0)．由题意知(4，0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，即≤2.整理，得3k2－4k≤0.解得0≤k≤.故k的最大值为.答案10．已知两圆的方程C14，C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，直线l：x＋2y＝0，求经过C1，C2的交点且和直线l相切的圆的方程．解设所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y＋4＋λ(x2＋y2－2x－4y＋4)＝0(不包括圆C2)．即x2＋y2－x－y＋＝0.所以所求圆的圆心为.2由圆心到直线的距离等于圆的半径，得＝·，解得λ＝1.故所求圆的方程为x2＋y2－x－2y＝0.3
