考点测试47空间向量及其应用高考概览考纲研读1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置2.会简单应用空间两点间的距离公式3.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直一、基础小题1.空间四边形ABCD中,已知M,G分别为BC,CD的中点,则向量AB+(BD+BC)=()A.AGB.CGC.BCD.BC答案A解析如图所示,(BD+BC)=BG,AB+BG=AG.故选A.2.分别以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在的直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则四边形AA1B1B的对角线的交点的坐标为()A.0,,B.,0,C.,,0D.,,答案B解析设所求交点为O,在空间直角坐标系中,点A1(0,0,1),B(1,0,0),则AB=(1,0,0),AA1=(0,0,1),故AO=,0,,即对角线的交点坐标为,0,,故选B.3.若向量a=(2,-2,-2),b=(2,0,4),则a与b的夹角的余弦值为()A.B.C.-D.0答案C解析cos〈a,b〉===-.4.设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O,球面上的两个点A,B的坐标分别为A(1,2,2),B(2,-2,1),则|AB|等于()A.18B.12C.3D.2答案C解析|AB|==3.5.在空间四边形ABCD中,AB·CD+AC·DB+AD·BC=()A.-1B.0C.1D.不确定答案B解析如图,设a=DA,b=DB,c=DC,则AB·CD+AC·DB+AD·BC=(b-a)·(-c)+(c-a)·b+(-a)·(c-b)=-b·c+a·c+c·b-a·b-a·c+a·b=0.6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出以下向量表达式:①(A1D1-A1A)-AB;②(BC+BB1)-D1C1;③(AD-AB)-2DD1;④(B1D1+A1A)+DD1.其中能够化简为向量BD1的是()A.①②B.②③C.③④D.①④答案A解析①(A1D1-A1A)-AB=AD1-AB=BD1;②(BC+BB1)-D1C1=BC1-D1C1=BD1;③(AD-AB)-2DD1=BD-2DD1≠BD1;④(B1D1+A1A)+DD1=B1D+DD1=B1D1≠BD1.综上,①②符合题意.故选A.7.在空间直角坐标系中,已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则边AC上的高BD=()A.5B.C.4D.2答案A解析设AD=λAC,AC=(0,4,-3),则AD=(0,4λ,-3λ),AB=(4,-5,0),BD=(-4,4λ+5,-3λ).由AC·BD=0,得λ=-,所以BD=-4,,,所以|BD|=5.故选A.8.已知空间向量a,b,满足|a|=|b|=1,且a,b的夹角为,O为空间直角坐标系的原点,点A,B满足OA=2a+b,OB=3a-b,则△OAB的面积为________.答案解析由已知OA=2a+b,OB=3a-b,得|OA|==,|OB|==.∴cos∠BOA==,∴sin∠BOA=.∴S△OAB=|OA||OB|sin∠BOA=.二、高考小题9.(2014·广东高考)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°夹角的是()A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)答案B解析经检验,选项B中向量(1,-1,0)与向量a=(1,0,-1)的夹角的余弦值为,即它们的夹角为60°.故选B.10.(2015·浙江高考)已知e1,e2是空间单位向量,e1·e2=.若空间向量b满足b·e1=2,b·e2=,且对于任意x,y∈R,|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),则x0=________,y0=________,|b|=________.答案122解析 e1,e2是单位向量,e1·e2=,∴cos〈e1,e2〉=,又 0°≤〈e1,e2〉≤180°,∴〈e1,e2〉=60°.不妨把e1,e2放到空间直角坐标系Oxyz的平面xOy中,设e1=(1,0,0),则e2=,再设OB=b=(m,n,r),由b·e1=2,b·e2=,得m=2,n=,则b=(2,,r).而xe1+ye2是平面xOy上任一向量,由|b-(xe1+ye2)|≥1知点B(2,,r)到平面xOy的距离为1,故可得r=1,则b=(2,,1),∴|b|=2.又由|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1知x0e1+y0e2=(2,,0),解得x0=1,y0=2.三、模拟小题11.(2018·山东临沂模拟)若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,-4),则()A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α斜交答案B解析 a=(1,0,2),n=(-2,0,-4),即n=-2a,故a∥n,∴l⊥α.12.(2018·河南安阳联考)设平面α的一...