考点测试47空间向量及其应用高考概览考纲研读1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置2．会简单应用空间两点间的距离公式3．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示4．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示5．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直一、基础小题1．空间四边形ABCD中，已知M，G分别为BC，CD的中点，则向量AB＋(BD＋BC)＝()A．AGB．CGC．BCD．BC答案A解析如图所示，(BD＋BC)＝BG，AB＋BG＝AG．故选A．2．分别以棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则四边形AA1B1B的对角线的交点的坐标为()A．0，，B．，0，C．，，0D．，，答案B解析设所求交点为O，在空间直角坐标系中，点A1(0，0，1)，B(1，0，0)，则AB＝(1，0，0)，AA1＝(0，0，1)，故AO＝，0，，即对角线的交点坐标为，0，，故选B．3．若向量a＝(2，－2，－2)，b＝(2，0，4)，则a与b的夹角的余弦值为()A．B．C．－D．0答案C解析cos〈a，b〉＝＝＝－．4．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上的两个点A，B的坐标分别为A(1，2，2)，B(2，－2，1)，则|AB|等于()A．18B．12C．3D．2答案C解析|AB|＝＝3．5．在空间四边形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝()A．－1B．0C．1D．不确定答案B解析如图，设a＝DA，b＝DB，c＝DC，则AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝(b－a)·(－c)＋(c－a)·b＋(－a)·(c－b)＝－b·c＋a·c＋c·b－a·b－a·c＋a·b＝0．6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：①(A1D1－A1A)－AB；②(BC＋BB1)－D1C1；③(AD－AB)－2DD1；④(B1D1＋A1A)＋DD1．其中能够化简为向量BD1的是()A．①②B．②③C．③④D．①④答案A解析①(A1D1－A1A)－AB＝AD1－AB＝BD1；②(BC＋BB1)－D1C1＝BC1－D1C1＝BD1；③(AD－AB)－2DD1＝BD－2DD1≠BD1；④(B1D1＋A1A)＋DD1＝B1D＋DD1＝B1D1≠BD1．综上，①②符合题意．故选A．7．在空间直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则边AC上的高BD＝()A．5B．C．4D．2答案A解析设AD＝λAC，AC＝(0，4，－3)，则AD＝(0，4λ，－3λ)，AB＝(4，－5，0)，BD＝(－4，4λ＋5，－3λ)．由AC·BD＝0，得λ＝－，所以BD＝－4，，，所以|BD|＝5．故选A．8．已知空间向量a，b，满足|a|＝|b|＝1，且a，b的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A，B满足OA＝2a＋b，OB＝3a－b，则△OAB的面积为________．答案解析由已知OA＝2a＋b，OB＝3a－b，得|OA|＝＝，|OB|＝＝．∴cos∠BOA＝＝，∴sin∠BOA＝．∴S△OAB＝|OA||OB|sin∠BOA＝．二、高考小题9．(2014·广东高考)已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是()A．(－1，1，0)B．(1，－1，0)C．(0，－1，1)D．(－1，0，1)答案B解析经检验，选项B中向量(1，－1，0)与向量a＝(1，0，－1)的夹角的余弦值为，即它们的夹角为60°．故选B．10．(2015·浙江高考)已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝．若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝，且对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，则x0＝________，y0＝________，|b|＝________．答案122解析 e1，e2是单位向量，e1·e2＝，∴cos〈e1，e2〉＝，又 0°≤〈e1，e2〉≤180°，∴〈e1，e2〉＝60°．不妨把e1，e2放到空间直角坐标系Oxyz的平面xOy中，设e1＝(1，0，0)，则e2＝，再设OB＝b＝(m，n，r)，由b·e1＝2，b·e2＝，得m＝2，n＝，则b＝(2，，r)．而xe1＋ye2是平面xOy上任一向量，由|b－(xe1＋ye2)|≥1知点B(2，，r)到平面xOy的距离为1，故可得r＝1，则b＝(2，，1)，∴|b|＝2．又由|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1知x0e1＋y0e2＝(2，，0)，解得x0＝1，y0＝2．三、模拟小题11．(2018·山东临沂模拟)若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交答案B解析 a＝(1，0，2)，n＝(－2，0，－4)，即n＝－2a，故a∥n，∴l⊥α．12．(2018·河南安阳联考)设平面α的一...
