课时分层训练(十三)变化率与导数、计算导数A组基础达标一、选择题1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2)D．3(x2＋a2)C[ f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，∴f′(x)＝3(x2－a2)．]2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)等于()A．－eB．－1C．1D．eB[由f(x)＝2xf′(1)＋lnx，得f′(x)＝2f′(1)＋，所以f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.]3．曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为()A．y＝3x－1B．y＝－3x－1C．y＝3x＋1D．y＝－3x－1A[由题意得y′＝(x＋1)ex＋2，则曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线的斜率为(0＋1)e0＋2＝3，故曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝3x，即y＝3x－1.]4．(2018·南宁、钦州第二次适应性考试)若直线y＝kx＋1是函数f(x)＝lnx图像的一条切线，则k＝()【导学号：79140073】A.B.C．eD．e2A[由f(x)＝lnx，得f′(x)＝.设切点为(x0，lnx0)，则解得x0＝e2，则k＝＝，故选A.]5．已知y＝f(x)是可导函数，如图2101，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝()图2101A．－1B．0C．2D．4B[由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－. g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3×＝0.]二、填空题6．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.1－ln2[分别求出两个对应函数的导数，设出两个切点坐标，利用导数得到两个切点坐标之间的关系，进而求出切线斜率，求出b的值．求得(lnx＋2)′＝，[ln(x＋1)]′＝.设曲线y＝lnx＋2上的切点为(x1，y1)，曲线y＝ln(x＋1)上的切点为(x2，y2)，则k＝＝，所以x2＋1＝x1.又y1＝lnx1＋2，y2＝ln(x2＋1)＝lnx1，所以k＝＝2，所以x1＝＝，y1＝ln＋2＝2－ln2，所以b＝y1－kx1＝2－ln2－1＝1－ln2.]7．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图像在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.【导学号：79140074】1[ f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． 切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.]8．曲线y＝alnx(a＞0)在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a＝________.8[ y＝alnx，∴y′＝，∴在x＝1处的切线的斜率k＝a，而f(1)＝aln1＝0，故切点为(1,0)，∴切线方程为y＝a(x－1)．令y＝0，得：x＝1；令x＝0，y＝－a.∴三角形面积S＝×a×1＝4，∴a＝8.]三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝x·tanx；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝.[解](1)y′＝(x·tanx)′＝x′tanx＋x(tanx)′＝tanx＋x·＝tanx＋x·＝tanx＋.(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11.(3)y′＝＝＝＝＝.10．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．[解](1) f′(x)＝3x2－8x＋5.∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x－4x＋5x0－4)， f′(x0)＝3x－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)·(x－2)，又切线过点P(x0，x－4x＋5x0－4)，∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.B组能力提升11．曲线y＝e在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.e2B．4e2C．2e2D．e2D[易知曲线y＝e在点(4，e2)处的切线斜率存在，设其为k. y′＝e，∴k＝e＝e2，∴切线方程为y－e2＝e2(x－4)，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，∴所求面积为S＝×2×|－e2|＝e2.]12．已知f(x)＝lnx，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且与f(x)图像的切点为(1，f(1))，则m的值为()A．－1B．－3C．－4D．－2D[ f′(x)＝，∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，...
