第2讲空间几何体的表面积和体积1．祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体(图X821)：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为()①②③④图X821A．①②B．①③C．②④D．①④2．(2015年新课标Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图X822.若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝()图X822A．1B．2C．4D．83．(2018年新课标Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为()A．12B．18C．24D．544．(多选)如图X823，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中正确的是()图X823A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．△AEF的面积与△BEF的面积相等D．三棱锥ABEF的体积为定值5．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)6．如图X824所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝CC1＝3.P是BC1上一动点，若一小虫沿其表面从点A1经过点P爬行到点C，则其爬行路程的最小值为________．图X8247．(2018年天津)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图X825)，则四棱锥MEFGH的体积为________．图X8258．(2016年浙江)某几何体的三视图如图X826(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.图X8269．(2019年天津)已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．10．(2018年天津)如图X827，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则四棱柱A1BB1D1D的体积为________．图X82711．(2015年新课标Ⅱ)如图X828，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．图X82812．(2016年新课标Ⅱ)如图X829，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．(1)求证AC⊥HD′；(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱锥D′ABCFE的体积．图X829第2讲空间几何体的表面积和体积1．D解析：设截面与底面的距离为h，则①中截面内圆的半径为h，则截面圆环的面积为π(R2－h2)；②中截面圆的半径为R－h，则截面圆的面积为π(R－h)2；③中截面圆的半径为R－，则截面圆的面积为π(R－)2；④中截面圆的半径为，则截面圆的面积为π(R2－h2)．∴①④中截面的面积相等，故其体积相等．故选D.2．B解析：如图D198，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2.故选B.图D1983．B解析：设球心为O，△ABC的中心为O1，显然当D，O，O1三点共线时，三棱锥D-ABC体积最大，△ABC为等边三角形且其面积为9，|AB|2＝9，∴|AB|＝6，|OO1|＝＝＝2.∴|DO1|＝4＋2＝6.则三棱锥DABC体积的最大值为×9×6＝18.4．ABD5．3解析：如图D199，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，图D199下底面半径为6寸，高为18寸． 积水深9寸，∴水面半径为(14＋6)＝10寸．则盆中水的体积为π×9(62＋102＋6×10)＝588π(立方寸)．∴平地降雨量等于...
