考点8.2空间点、直线、平面之间的位置关系考点梳理1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：.3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．概念方法微思考1．分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？提示不一定．因为异面直线不同在任何一个平面内．分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交．2．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？提示不一定．如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补．真题演练1．（2019•新课标Ⅲ）如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则A．，且直线，是相交直线B．，且直线，是相交直线C．，且直线，是异面直线D．，且直线，是异面直线【答案】B【解析】点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，平面，平面，是中边上的中线，是中边上的中线，直线，是相交直线，设，则，，，，，故选．2．（2019•上海）已知平面、、两两垂直，直线、、满足：，，，则直线、、不可能满足以下哪种关系A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面【答案】B【解析】如图1，可得、、可能两两垂直；如图2，可得、、可能两两相交；如图3，可得、、可能两两异面；故选．3．（2018•上海）如图，在直三棱柱的棱所在的直线中，与直线异面的直线的条数为A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】在直三棱柱的棱所在的直线中，与直线异面的直线有：，，，共3条．故选．4．（2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为A．B．C．D．【答案】C【解析】【解法一】如图所示，设、、分别为，和的中点，则、夹角为和夹角或其补角（因异面直线所成角为，可知，；作中点，则为直角三角形；，，中，由余弦定理得，，；在中，；在中，由余弦定理得；又异面直线所成角的范围是，，与所成角的余弦值为．【解法二】如图所示，补成四棱柱，求即可；，，，，，．故选．5．（2016•上海）如图，在正方体中，、分别为、的中点，则下列直线中与直线相交的是A．直线B．直线C．直线D．直线【答案】D【解析】根据异面直线的概念可看出直线，，都和直线为异面直线；和在同一平面内，且这两直线不平行；直线和直线相交，即选项正确．故选．6．（2020•新课标Ⅲ）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：（1）当时，；（2）点在平面内．【解析】（1）因为是长方体，所以平面，而平面，所以，因为是长方体，且，所以是正方形，所以，又．所以平面，又因为点，分别在棱，上，所以平面，所以．（2）取上靠近的三等分点，连接，，．因为点在，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，且，又因为在上，且，所以，且，所以为平行四边形，所以，，即，，所以为平行四边形，所以，所以，所以，，，四点共面．所以点在平面内．7．（2019•新课标Ⅲ）图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿，折起使得与重合，连结，如图2．（1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；（2）求图2中的四边形的面积．【解析】（1）证明：由已知可得，，即有，则，确定一个平面，从而，，，四点共面；由四边形为矩形，可得，由为直角三角形，可得，又，可得平面，平面，可得平面平面；（2）连接，，由平面，可得，在中，，，可得，可得，在中，，，，可得，即有，则平行四边形的面积为．8．（2019•上海）如图，在正三棱锥中，．（1）若的中点为，的中点为，求与的夹角；（2）求的体...
