3.3计算导数(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．给出下列结论：①若y＝，则y′＝－；②若y＝，则y′＝；③若f(x)＝sinα，则f′(x)＝cosα；④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.其中，正确的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】对于②y＝，y′＝x＝x＝，故②错；对于③f(x)＝sinα，为常数函数，∴f′(x)＝0，故③错；①④都正确．【答案】B2．曲线f(x)＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为()A．1B．2C．eD．【解析】∵f(x)＝ex，∴f′(x)＝ex，∴f′(0)＝1.即曲线f(x)＝ex在点(0,1)处的切线的斜率为1.【答案】A3．已知曲线y＝x3在点(a，b)处的切线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则a的值是()A．－1B．±1C．1D．±3【解析】由y＝x3知y′＝3x2，∴切线斜率k＝y′|x＝a＝3a2.又切线与直线x＋3y＋1＝0垂直，∴3a2·＝－1，∴即a2＝1，a＝±1，故选B.【答案】B4．已知f(x)＝logax(a>1)的导函数是f′(x)，记A＝f′(2)，B＝f(3)－f(2)，C＝f′(3)，则()A．A>B>CB．A>C>BC．B>A>CD．C>B>A【解析】记M(2，f(2))，N(3，f(3))，则由于B＝f(3)－f(2)＝表示直线MN的斜率，A＝f′(2)表示函数f(x)＝logax在点M处的切线的斜率，C＝f′(3)表示函数f(x)＝logax在点N处的切线的斜率．由f(x)的图像易得A>B>C.【答案】A5．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为()A.B．－C．－eD．e【解析】y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则∴e＝e·x0，∴x0＝1，∴k＝e.【答案】D二、填空题16．若f(x)＝cos，则f′(x)＝________.【解析】f(x)＝－，∴f′(x)＝0.【答案】07．(2016·安庆高二检测)曲线y＝cosx在点处的切线的倾斜角为________.【解析】y′＝－sinx，∴k＝－sin＝－.设倾斜角为α，则tanα＝－，α＝135°.【答案】135°8．设直线y＝x＋b是曲线f(x)＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为________．【解析】f′(x)＝(lnx)′＝，设切点坐标为(x0，y0)，由题意得＝，则x0＝2，y0＝ln2，代入切线方程y＝x＋b，得b＝ln2－1.【答案】ln2－1三、解答题9．求与曲线y＝在点P(8,4)处的切线垂直，且过点(4,8)的直线方程．【解】∵y＝，∴y′＝()′＝(x)′＝x.∴k＝f′(8)＝·8＝.即曲线在点P(8,4)处的切线的斜率为.∴适合条件的直线的斜率为－3.从而适合条件的直线方程为y－8＝－3(x－4)．即3x＋y－20＝0.10．若曲线f(x)＝x在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．【解】对函数f(x)＝x求导得f′(x)＝－x(x>0)，则曲线f(x)＝x在点(a，a)处的切线l的斜率k＝f′(a)＝－a，由点斜式得切线的方程为y－a＝－a(x－a)，易求得直线l与x轴，y轴的截距分别为3a，a，所以直线l与两个坐标轴围成的三角形面积S＝×3a×a＝a＝18，解得a＝64.[能力提升]1．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，……，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2016(x)等于()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx【解析】f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝－sinx，f7(x)＝－cosx，f8(x)＝sinx，…，故fn(x)以4为周期，∴f2016(x)＝f504×4(x)＝f0(x)＝sinx.【答案】A2．(2016·青岛高二检测)曲线y＝在x＝0处的切线方程是()A．x＋yln2－ln2＝0B．xln2＋y－1＝0C．x－y＋1＝0D．x＋y－1＝0【解析】y′＝ln＝－ln2·，y′|x＝0＝－ln2，即切线的斜率为－ln2.又切点为(0,1)，所以切线方程为y－1＝－ln2×(x－0)，即xln2＋y－1＝0.选B.【答案】B3．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为________．2【解析】y′＝ex，∴y′|x＝2＝e2.∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)，x＝0时，y＝－e2；y＝0时，x＝1.∴S△＝×1×e2＝.【答案】4．已知两条曲线y＝sinx，y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．【解】不存在．理由如下：由于y＝sinx，y＝cosx，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，所以两条曲线在P(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝cosx0，k2＝－sinx0.若使两条切线互相垂直，必须有cosx0·(－sinx0)＝－1，即cosx0·sinx0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直．3
