3.2.1导数的概念3.2.2导数的几何意义(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若函数y＝f(x)在x＝1处的导数为1，则lim等于()A．2B．1C.D．【解析】lim＝f′(1)＝1.【答案】B2．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A．f′(x)＝aB．f′(x)＝bC．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b【解析】＝＝＝a＋bΔx，当x趋于x0，即Δx趋于0时，平均变化率趋于a，∴f′(x0)＝a.【答案】C3．如图322所示的是y＝f(x)的图像，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()图322A．f′(xA)>f′(xB)B．f′(xA)kA，∴f′(xB)>f′(xA)．故选B.【答案】B4．设函数f(x)＝ax＋b，若f(1)＝f′(1)＝2，则f(2)等于()A．1B．2C．4D．6【解析】可得f′(1)＝lim＝lim＝lim＝a，又f′(1)＝2，得a＝2，而f(1)＝2，故a＋b＝2，即b＝0，所以f(x)＝2x，有f(2)＝4.【答案】C5．已知曲线f(x)＝－和点M(1，－2)，则曲线在点M处的切线方程为()A．y＝－2x＋4B．y＝－2x－4C．y＝2x－4D．y＝2x＋4【解析】＝＝，∴当Δx→0时，f′(1)＝2，即k＝2.∴直线方程为y＋2＝2(x－1)，即y＝2x－4.1【答案】C二、填空题6．(2016·亳州高二检测)已知函数y＝f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__________.【解析】∵f(1)＝1＋2＝3，f′(1)＝k＝1，∴f(1)＋f′(1)＝4.【答案】47．(2016·蚌埠高二检测)曲线y＝x2上切线的倾斜角是30°的点的坐标为__________．【解析】设切点横坐标为x0，f′(x0)＝lim＝2x0，∴2x0＝tan30°＝，∴x0＝，∴y0＝.【答案】8．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于________.【解析】∵y′＝lim＝lim(2a＋aΔx)＝2a.∴可令2a＝2，∴a＝1.【答案】1三、解答题9．已知函数f(x)＝求f′(1)·f′(－1)的值．【解】当x＝1时，＝＝＝.由导数的定义，得f′(1)＝lim＝.当x＝－1时，＝＝＝Δx－2.由导数的定义，得f′(－1)＝lim(Δx－2)＝－2.所以f′(1)·f′(－1)＝×(－2)＝－1.10．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．【解】曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线斜率k＝f′(1)＝lim＝lim(3Δx＋2)＝2.∴过点P(－1,2)的直线的斜率为2，由点斜式得y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.[能力提升]1．曲线y＝x3＋6在点P(1,7)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－4B．－3C．4D．10【解析】＝＝＝(Δx)2＋3Δx＋3.当Δx→0时，→3.∴在(1,7)处的切线方程为y－7＝3(x－1)．令x＝0得y＝4.【答案】C2．(2016·杭州高二检测)若直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点P(1,3)，则b等于()2A．3B．－3C．5D．－5【解析】∵点P(1,3)既在直线上又在曲线上，∴3＝k＋1，且3＝1＋a＋b，即k＝2，a＋b＝2.根据导数的定义知y＝x3＋ax＋b的导数为y′＝3x2＋a，∴3×12＋a＝k，∴a＝－1，b＝3.【答案】A3．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为，则点P横坐标的取值范围为________．【解析】∵f′(x)＝lim＝lim＝lim(Δx＋2x＋2)＝2x＋2.∴可设P点横坐标为x0，则曲线C在P点处的切线斜率为2x0＋2.由已知得0≤2x0＋2≤1，∴－1≤x0≤－，∴点P横坐标的取值范围为.【答案】4．过曲线y＝x2＋1上点P的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标.【解】设切点P(x0，y0)，则f′(x0)＝lim＝2x0.所以过点P的切线方程为：y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x＋1－x，又此直线与曲线y＝－2x2－1相切，所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点．由得2x2＋2x0x＋2－x＝0.即Δ＝4x－8(2－x)＝0.解得x0＝，y0＝.所以点P的坐标为或.3
