专题研究4圆锥曲线中的探索性问题1．(2018·重庆一中期中)当曲线y＝－与直线kx－y＋2k－4＝0有两个不同的交点时，实数k的取值范围是()A．(0，)B．(，]C．(，1]D．(，＋∞)答案C解析曲线y＝－表示圆x2＋y2＝4的下半部分，直线kx－y＋2k－4＝0过定点(－2，－4)．由＝2，解得k＝，所以过点(－2，－4)且斜率k＝的直线y＝x－与曲线y＝－相切，如图所示．过点(－2，－4)与点(2，0)的直线的斜率为＝1.所以曲线y＝－与直线kx－y＋2k＝0有两个不同的交点时，实数k的取值范围是(，1]．故选C.2．设抛物线x2＝2py(p>0)，M为直线y＝－2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B，记A，B，M的横坐标分别为xA，xB，xM，则()A．xA＋xB＝2xMB．xA·xB＝xM2C.＋＝D．以上都不对答案A解析由x2＝2py得y＝，所以y′＝，所以直线MA的方程为y＋2p＝(x－xM)，直线MB的方程为y＋2p＝(x－xM)，所以＋2p＝(xA－xM)①，＋2p＝(xB－xM)②，由①②可得xA＋xB＝2xM，故选A.3．(2016·浙江，文)设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．答案(2，8)解析由题意不妨设点P在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF2⊥x轴时，|PF1|＋|PF2|有最大值8；当∠P为直角时，|PF1|＋|PF2|有最小值2.因为△F1PF2为锐角三角形，所以|PF1|＋|PF2|的取值范围为(2，8)．4．已知圆C的半径为2，圆心在直线y＝－x＋2上，E(1，1)，F(1，－3)，若圆上存在点Q，使|QF|2－|QE|2＝32，则圆心的横坐标a的取值范围为________．答案[－3，1]解析根据题意，可设圆C的方程为(x－a)2＋(y＋a－2)2＝4，设Q(x，y)，由|QF|2－|QE|2＝32，得到(x－1)2＋(y＋3)2－(x－1)2－(y－1)2＝32，得y＝3，故点Q在直线y＝3上，又点Q在圆(x－a)2＋(y＋a－2)2＝4上，所以圆C与直线y＝3必须有公共点．因为圆心的纵坐标为－a＋2，半径为2，所以圆C与直线y＝3有公共点的充分条件是1≤－a＋2≤5，即－3≤a≤1.所以圆心的横坐标a的取值范围是[－3，1]．5．(2018·江西红色七校二模)已知椭圆的焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P，Q两点，且|PQ|＝3.(1)求椭圆的方程；(2)过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线l的方程；若不存在，请说明理由．答案(1)＋＝1(2)存在，最大值为解析(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由焦点坐标可得c＝1，由|PQ|＝3，可得＝3.又a2－b2＝1，解得a＝2，b＝，故椭圆方程为＋＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，不妨设y1>0，y2<0.设△F1MN的内切圆的半径为R.则△F1MN的周长为4a＝8，S△F1MN＝(|MN|＋|F1M|＋|F1N|)R＝4R.因此，S△F1MN最大，R就最大，△F1MN的内切圆的面积就最大．由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my＋1.由得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，则y1＝，y2＝，则S△F1MN＝|F1F2|(y1－y2)＝y1－y2＝.1令t＝，t≥1，则S△F1MN＝＝＝.令f(t)＝3t＋，则f′(t)＝3－，当t≥1时，f′(t)≥0，f(t)在[1，＋∞)上单调递增，则f(t)≥f(1)＝4，S△F1MN≤3，且当t＝1，即m＝0时，(S△F1MN)max＝3. S△F1MN＝4R，∴Rmax＝，这时所求内切圆面积的最大值为π.故直线l的方程为x＝1时，△F1MN内切圆的面积取得最大值π.6．(2018·安徽六安二模)设点P是圆x2＋y2＝4上的任意一点，点D是点P在x轴上的投影，动点M满足PD＝2MD，过定点Q(0，2)的直线l与动点M的轨迹交于A，B两点．(1)求动点M的轨迹方程；(2)在y轴上是否存在点E(0，t)，使|EA|＝|EB|？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．答案(1)＋＝1(2)存在，t∈(－，0]解析(1)设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(xp，yp)，则点D的坐标为(xp，0)，由PD＝2MD，得 点P在圆上，∴x2＋(y)2＝4，即＋＝1，∴点M的轨迹方程为＋＝1.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，当E与原点重合，即t＝0时，满足|EA|＝|EB|.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2，代入＋＝1，消去y，得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，则由Δ＝(16k)2－16(3＋4k2)>0，得|k|>.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－...
