（江苏专用）高考数学大一轮复习 第八章 不等式 第47课 基本不等式及其应用 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第47课基本不等式及其应用(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修5P98例1改编)若x>0，则x+4x的最小值为.【答案】4【解析】因为x>0，所以x+4x≥4，当且仅当x=4x，即x=2时取等号.2.(必修5P98例1改编)设a，b均为正数，则ba+ab的最小值为.【答案】2【解析】因为a，b为正数，所以ba+ab≥2·baab=2，当且仅当ba=ab，即a=b时取等号.3.(必修5P105习题10改编)函数y=x+11x(x>-1)的值域为.【答案】[1，+∞)【解析】因为x>-1，所以x+1>0，所以y=x+11x=x+1+11x-1≥2-1=1，当且仅当x=0时取等号，所以函数y=x+11x(x>-1)的值域为[1，+∞).4.(必修5P105习题9改编)函数y=2-x-4x(x>0)的最大值为.【答案】-2【解析】因为x>0，所以y=2-x-4x=2-4xx≤2-24·xx=2-4=-2，当且仅当x=4x，即x=2时取等号.15.(必修5P106习题16改编)已知正数x，y满足x+2y=1，那么1x+1y的最小值为.【答案】3+22【解析】因为x>0，y>0，x+2y=1，所以1x+1y=11xy(x+2y)=1+2+2yx+xy≥3+22·yxxy=3+22，当且仅当x2=2y2时取得最小值3+22.1.基本不等式的定理表达式为ab≤2ab(a≥0，b≥0)，当且仅当a=b时取“=”.2.应用基本不等式求最值时应注意的问题是一正；二定；三相等.3.与基本不等式相关的重要不等式：(1)a2+b2≥2ab(a，b∈R)；(2)ba+ab≥2(ab>0)；(3)222ab≥2ab(a，b∈R).4.基本不等式ab≤2ab(a≥0，b≥0)的两个等价变形：(1)ab≤22ab(当且仅当a=b时取“=”)；(2)a+b≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).【要点导学】2要点导学各个击破利用基本不等式证明例1已知a>0，b>0，c>0，求证：bca+cab+abc≥a+b+c.【思维引导】先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到.【解答】因为a>0，b>0，c>0，所以bca+cab≥2·bccaab=2c；bca+abc≥2·bcabac=2b；cab+abc≥2·caabbc=2a.以上三式相加得2bccaababc≥2(a+b+c)，即bca+cab+abc≥a+b+c，当且仅当a=b=c时取等号.【精要点评】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.利用基本不等式求最值微课11●问题提出从本质上看，基本不等式反映了两个正数和与积之间的不等关系，所以在求积的最值、和的最值时，基本不等式焕发出强大的生命力，它是解决最值问题的强有力工具.我们结合例2谈谈运用基本不等式求最值有哪些方法技巧.●典型示例3例2(2015·南通期末)如图所示，已知函数y=ax+b>0)的图象经过点P(1，3)，则4-1a+1b的最小值为.(例2)【思维导图】【答案】92【规范解答】方法一：(基本不等式法)由图可知a>1，点(1，3)在函数y=ax+b的图象上，所以a+b=3，且12+12=52.，所以u≥92.当a=73，b=23时，u=4-1a+1b=92，所以4-1a+1b的最小值为92.4方法三：(三角代换法)由方法一可知a+b=3，且1