高中数学两类易混淆的函数问题：对称性与周期性专题辅导VIP专享VIP免费

高中数学两类易混淆的函数问题：对称性与周期性刘云汉例1.已知函数yfxxR()满足fxfx()()55，问：yfx()是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？例2.已知函数yfxxR()满足fxfx()()55，问：yfx()是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？这两个问题的已知条件形似而质异。有的同学往往把它们混为一谈，从而得出错误的结论。为了准确地回答上述问题，必须掌握以下基本定理。定理1：如果函数yfxxR()满足faxfax()()，那么yfx()的图像关于直线xa对称。证明：设点Pxy00，是yfx()的图像上任一点，点P关于直线xa的对称点为Q，易知，点Q的坐标为200axy，。因为点Pxy00，在yfx()的图像上，所以fxy()00于是faxfaaxfaaxfxy200000所以点Qaxy200，也在yfx()的图像上。由P点的任意性知，yfx()的图像关于直线xa对称。定理2：如果函数yfxxR()满足faxfbx，那么yfx()的图像关于直线xab2的对称。证明：（略）（证明同定理1）定理3：如果函数yfxxR()满足fxafxa，那么yfx()是以2a为周期的周期函数。证明：令xax'，则xxaxaxa''，2代入已知条件fxafxa得：fxafx''2根据周期函数的定义知，yfx()是以2a为周期的周期函数。定理4：如果函数yfxxR()满足fxafxb，那么yfx()是以ab为周期的周期函数。证明：（略）（证法同定理3）由以上的定理可知，在已知条件faxfbx或fxafxb中，等式两端的两自变量部分相加得常数，如axbxab，说明fx()的图像具有对称性，其对称轴为xab2。等式两端的两自变量部分相减得常数，如xaxbab，说明fx()是周期函数，其周期Tab。容易证明：定理1、2、3、4的逆命题也是成立的。牢牢掌握以上规律，则例1、例2迎刃而解。例1中，5510xx，因此fx()的图像关于直线x5对称。由这个已知条件我们不能判定fx()是周期函数。例2中，xx5510，因此fx()是周期函数，其周期T10。由这个已知条件我用心爱心专心们不能判定它是轴对称图形。例3.若函数fxxbxc()2对于任意实数t均有ftft31，那么（）A.fff()()()214B.fff()()()124C.fff()()()241D.fff()()()421解析：在ftft31()中314tt所以抛物线fxxbxc()2的对称轴为x2作示意图如图1，可见，应选A。图1例4.设fx()是定义在R上的奇函数，且fxfx2()，给出下列四个结论：①f()20；②fx()是以4为周期的函数；③fx()的图像关于直线x2对称；④fxfx2其中所有正确命题的序号是___________。解析1：（1）因为fxxR()是奇函数，所以fxfx令x0，得ff00fff()()()000200，所以f()00又已知fxfx2()令x2，得ff()()02所以ff()()200故①成立。（2）因为fxfx2()，所以fxfxfxfx()2224由xx44（两自变量相减得常数）所以fx()是以4为周期的周期函数。故②成立。（3）由fxfx2得：xx22（两自变量相加得常数）所以fx()的图像关于直线x1对称。而不是关于直线x2对称。故③是错误的。（4）由（2）知，fx()应满足fxfx()22而fxfx2()所以fxfxfx2()()用心爱心专心故④成立。综上所述，应填①②④。解析2：根据题设条件，构造出函数fx()的图像如图2。图2由图可见，①②④正确，而③不正确。例5.函数yaxalog210的图像关于直线x2对称，则a___________。解析：因为函数yaxalog210的图像关于直线x2对称所以有loglog222121axax（定理1的逆定理）axaxaaxaax21212121a0（与题设矛盾，舍去）或a12所以a12。例6.设fx()是R上的奇...