第五章5.45.4.2第1课时A组·素养自测一、选择题1．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是(D)2．函数y＝sin2x是(A)A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为的偶函数D．周期为的奇函数3．对于函数y＝cos(－2x)，下列命题正确的是(D)A．函数是周期为2π的偶函数B．函数是周期为2π的奇函数C．函数是周期为π的偶函数D．函数是周期为π的奇函数[解析]因为函数y＝cos(－2x)＝sin2x，T＝＝π，且y＝sin2x是奇函数，所以y＝cos(－2x)是周期为π的奇函数．4．函数y＝4cos(2x＋π)的图象关于(C)A．x轴对称B．原点对称C．y轴对称D．直线x＝对称[解析]因为y＝4cos(2x＋π)＝－4cos2x，所以y＝4cos(2x＋π)为偶函数，其图象关于y轴对称．5．函数y＝sin(2x＋)的一个对称中心是(B)A．(，0)B．(，0)C．(－，0)D．(，0)[解析]y＝sin(2x＋)＝cos2x，对称中心是函数图象与x轴的交点，将四个点代入验证，只有(，0)符合要求，故选B．6．函数f(x)＝的奇偶性是(A)A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数[解析]因为f(x)的定义域为{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选A．二、填空题7．已知函数f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1,3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝__－1__.[解析]因为T＝2，则f(x)＝f(x＋2)．又f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)，且x∈[1,3)时，f(x)＝x－2，所以f(－1)＝f(1)＝1－2＝－1.8．使函数y＝sin(2x＋φ)为奇函数的φ值可以是__π(答案不唯一)__.[解析]因为函数y＝sin(2x＋φ)的定义域为R，且为奇函数，所以f(0)＝0，即sin(2×0＋φ)＝sinφ＝0，故φ＝kπ(k∈Z)．9．函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为4π，当f(x)取得最小值时，x的取值集合为__{x|x＝4kπ－(k∈Z)}__.[解析] T＝＝4π，∴ω＝，∴f(x)＝2sin.由x－＝2kπ－(k∈Z)，得x＝4kπ－(k∈Z)．三、解答题10．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)f(x)＝1，求证：f(x)是周期函数．[证明] f(x＋2)＝，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)．∴函数f(x)是周期函数，4是一个周期．11．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sinx.(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；(3)求当f(x)≥时x的取值范围．[解析](1) f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)． 当x∈[0，]时，f(x)＝sinx，∴当x∈[－，0]时，f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sinx.又 当x∈[－π，－]时，x＋π∈[0，]，f(x)的周期为π，∴f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sinx.∴当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sinx.(2)如图．(3) 在[0，π]内，当f(x)＝时，x＝或，∴在[0，π]内，f(x)≥时，x∈[，]．又 f(x)的周期为π，∴当f(x)≥时，x∈[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.B组·素养提升一、选择题1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是偶函数”是“φ＝”的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]若f(x)是偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)，φ＝不一定成立；而φ＝时，f(x)为偶函数，所以“f(x)是偶函数”是“φ＝”的必要不充分条件，故选B．2．函数：①y＝x2sinx；②y＝sinx，x∈[0,2π]；③y＝sinx，x∈[－π，π]；④y＝xcosx中，奇函数的个数为(C)A．1B．2C．3D．4[解析]①③④是奇函数，故选C．3．(多选题)下列函数中，最小正周期为π的偶函数是(AC)A．y＝sin(2x＋)＋1B．y＝cos(2x＋)C．f(x)＝＋D．y＝cos(2x＋)[解析]由y＝sin(2x＋)＋1＝cos2x＋1知，y＝sin(2x＋)＋1为偶函数，且周期为π，故A满足条件；由y＝cos(2x＋)＝－sin2x知，y＝cos(2x＋)为奇函数，故B不满足条件；对任意x∈R，－1≤sin2x≤1，∴1＋sin2x≥0,1－sin2x≥0.∴f(x)＝＋的定义域是R，关于原点对称． f(－x)＝＋＝＋＝f(x)，∴f(x)是偶函数，且周期为π，故C满足条件；y＝cos(2x＋)是非奇非偶函数，故D不满足条件，故选AC．4．(多选题)下列关于函数f(x)＝sin(x＋φ)的说法错误的是(AD)A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数B．存在φ，使f(...
