课时跟踪检测（十七）数乘向量一、基本能力达标1．设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是()A．a与λa的方向相同B．a与－λa的方向相反C．a与λ2a的方向相同D．|λa|＝λ|a|解析：选C只有当λ>0时，才有a与λa的方向相同，a与－λa的方向相反，且|λa|＝λ|a|.因为λ2>0，所以a与λ2a的方向相同．故选C.2．(a＋9b－2c)－(b＋2c)等于()A．a＋10b－4cB．a＋8bC．a＋8b－4cD．a＋10b解析：选C(a＋9b－2c)－(b＋2c)＝a＋(9b－b)－(2c＋2c)＝a＋8b－4c.3．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，又＝t，则t的值为()A.B.C.D.解析：选A由题意可得＝－＝＋－＝(－)＝，又＝t，∴t＝.4．已知a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D解析：选A由题意得＝＋＋＝(a＋2b)＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3.又与有共同起点A，∴A，B，D三点共线．5．已知平面内有一点P及一个△ABC，若＋＋＝，则()A．点P在△ABC外部B．点P在线段AB上C．点P在线段BC上D．点P在线段AC上解析：选D∵＋＋＝，∴＋＋－＝0，∴＋＋＋＝0，即＋＋＝0，∴2＝，∴点P在线段AC上．6．已知x，y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________.解析：由已知得解得x＝y＝.答案：7．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2∈R)，则λ1＋λ2的值为________．解析：由DE＝BE－BD＝BC－BA＝(AC－AB)＋AB＝－AB＋AC，得λ1＝－，λ2＝，从而λ1＋λ2＝.答案：8．已知两个不共线向量e1，e2，且＝e1＋λe2，＝3e1＋4e2，＝2e1－7e2，若A，B，D三点共线，则λ的值为________．解析：由＝3e1＋4e2，＝2e1－7e2，得＝＋＝5e1－3e2，又＝e1＋λe2，且A，B，D三点共线，所以存在实数μ，使得＝μ，即e1＋λe2＝μ(5e1－3e2)，又e1，e2不共线，所以∴λ＝－.答案：－9.如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，求实数m的值．解：＝＋＝＋＝m＋，∴＝m－.又＝＋＝＋(－)＝－，设＝λ，则λ－λ＝m－，∴m＝λ＝.二、综合能力提升1．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于()A.B．－C．－D.解析：选C∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.又a与b反向，∴λ＝－.2．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若＝a，＝b，则＝()A.a＋bB.a＋bC．a＋bD．a＋b解析：选A由已知条件可知BE＝3DE，∴DF＝AB，∴＝＋＝＋＝a＋b.3．已知向量a＝e1＋2e2，b＝2e1－e2，则a＋2b与2a－b()A．一定共线B．一定不共线C．仅当e1与e2共线时共线D．仅当e1＝e2时共线解析：选C由a＋2b＝5e1,2a－b＝5e2可知，当且仅当e1与e2共线时，a＋2b与2a－b共线．4．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足OP＝，则点P一定为()A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点(非重心)C．BC边中线的中点D．AB边的中点解析：选B∵O是△ABC的重心，∴OA＋OB＋OC＝0，∴OP＝＝OC，∴点P是线段OC的中点，即AB边中线的三等分点(非重心)．故选B.5．若＝5e，＝－7e，且||＝||，则四边形ABCD是________(填形状)．解析：∵＝5e，＝－7e，∴AB∥CD且AB≠CD，又∵||＝||，∴四边形ABCD是等腰梯形．答案：等腰梯形6．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为________．解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3.答案：－1或37．已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点．(1)用a，b表示向量，.(2)求证：M，N，C三点共线．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴＝＝a.∵M为AB的中点，∴＝＝b，∴＝＋＝b＋a.∵N为BD上靠近B的三等分点，∴＝，∴＝＋＝＋＝(－)＋＝(b－a)＋a＝a＋b.(2)证明：由(1)知＝，又与有公共点C，∴M，N，C三点共线．8.如图，已知△OCB中，点A是BC的中点，D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA＝a，OB＝b.(1)用a，b表示向量OC，DC；(2)若OE＝λOA，求λ的值．解：(1)由A是BC的中点，得OA＝(OB＋OC)，从而OC＝2OA－OB＝2a－b.由D是将OB分成2∶1的一个内分点，得OD＝OB，从而DC＝OC－OD＝(2a－b)－b＝2a－b.(2)由于C，E，D三点共线，则EC＝μDC，又EC＝OC－OE＝(2a－b)－λa＝(2－λ)·a－b，DC＝2a－b，从而(2－λ)a－b＝μ，又a，b不共线，则解得λ＝.
