2.2.2向量的减法A级基础巩固1．若非零向量a，b互为相反向量，则下列说法错误的是()A．a∥bB．a≠bC．|a|≠|b|D．b＝－a解析：根据相反向量的定义：大小相等，方向相反，可知|a|＝|b|，C不正确．答案：C2．在平行四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b，AC＝c，BD＝d，则下列等式中不正确的是()A．a＋b＝cB．a－b＝dC．b－a＝dD．c－a＝b解析：根据向量加法的平行四边形法则和三角形法则知，AB＋AD＝AC，AD－AB＝BD，即a＋b＝c，b－a＝d.所以A、C、D正确，B不正确．答案：B3．在边长为1的正三角形ABC中，|AB－BC|的值为()A．1B．2C.D.解析：作出菱形ABCD(如图所示)，则AC⊥BD，BC＝AD，故|AB－BC|＝|AB－AD|＝|DB|＝2|BO|＝2×＝.答案：D4.如图所示，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则()A.AD＋BE＋CF＝0B.BD－CF＋DF＝0C.AD＋CE－CF＝0D.BD－BE－FC＝0解析：因为D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，所以AD＝DB，CF＝ED，FC＝DE，FE＝DB.所以AD＋BE＋CF＝DB＋BE＋ED＝0，故A成立；BD－CF＋DF＝BD＋DF－CF＝BF＋FC＝BC≠0，故B不成立；AD＋CE－CF＝AD＋FE＝AD＋DB＝AB≠0，故C不成立；BD－BE－FC＝ED－DE＝ED＋ED≠0，故D不成立．答案：A5．在△ABC中，|AB|＝|BC|＝|CA|＝2，则|AB－AC|的值为______．解析：AB－AC＝CB，则|CB|＝|BC|＝2.答案：216．化简(AB＋PC)＋(BA－QC)＝________．解析：(AB＋PC)＋(BA－QC)＝(AB＋BA)＋(PC＋CQ)＝0＋PQ＝PQ.答案：PQ7．在平行四边形ABCD中，若AB＝a，AD＝b，且|a＋b|＝|a－b|，则四边形ABCD的形状是________．解析：由平行四边形法则知，|a＋b|，|a－b|分别表示对角线AC，BD的长，当|AC|＝|BD|时，平行四边形ABCD为矩形．答案：矩形8．在△ABC中，D是BC的中点，设AB＝c，AC＝b，BD＝a；AD＝d，则d－a＝________，d＋a＝________．解析：根据题意画出图形，如图所示，d－a＝AD－BD＝AD＋DB＝AB＝c；d＋a＝AD＋BD＝AD＋DC＝AC＝b.答案：cb9．若|AB|＝8，|AC|＝5，则|BC|的取值范围是()A．[3，8]B．(3，8)C．[3，13]D．(3，13)解析：因为|BC|＝|AC－AB|，又因为|AB|－|AC|≤|AC－AB|≤|AB|＋|AC|，所以3≤|AC－AB|≤13，即3≤|BC|≤13.答案：C10．如图所示，四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，BC＝a，则DC＝________(用a，b，c表示)．解析：DC＝DA＋AB＋BC＝－b＋a＋c＝a－b＋c.答案：a－b＋cB级能力提升11.如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设AB＝a，DA＝b，OC＝c，求证：b＋c－a＝OA.证明：法一：因为四边形ABCD是平行四边形，所以DA＝CB.所以b＋c＝DA＋OC＝CB＋OC＝OB.所以b＋c－a＝OB－AB＝OB＋BA＝OA.2法二：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝DC.所以c－a＝OC－AB＝OC－DC＝OC＋CD＝OD.因为DA＝b，所以b＋c－a＝b＋OD＝DA＋OD＝OA.12．如图所示，▱ABCD中，AB＝a，AD＝b.(1)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？(2)当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|?(3)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？解：(1)由平行四边形法则，知a＋b＝AC，a－b＝DB.因为a＋b与a－b所在直线垂直，所以AC⊥BD.又因为四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为菱形，所以|a|＝|b|.所以当|a|＝|b|时，a＋b与a－b所在直线互相垂直．(2)假设|a＋b|＝|a－b|，即|AC|＝|BD|.因为四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD是矩形．所以a⊥b，所以当a与b垂直时，|a＋b|＝|a－b|.(3)不可能．因为▱ABCD的两条对角线不可能平行，所以a＋b与a－b不可能为共线向量，更不可能为相等向量．13．已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.解：设AB＝a，AD＝b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，如图所示．则AC＝a＋b，DB＝a－b，所以|AC|＝|DB|.又四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为矩形，故AD⊥AB.在Rt△DAB中，|AB|＝6，|AD|＝8，由勾股定理得|DB|＝＝＝10.所以|a－b|＝10.3
