一、墙角模型二、对棱相等模型培优点十四外接球例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】V=a2h=16，a=2，，．例2：如下图所示三棱锥，其中，，，则该三棱锥外接球的表面积为．【答案】【解析】对棱相等，补形为长方体，如图，设长宽高分别为a,b,c，2(a2+b2+c2)=25+36+49=110，a2+b2+c2=55，4R2=55，．三、汉堡模型BCDADCBA例3：一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为．【答案】【解析】设正六边形边长为，正六棱柱的高为，底面外接圆的半径为，则，正六棱柱的底面积为，则，∴，，也可，，四、切瓜模型五、垂面模型设球的体积为，则．例4：正四棱锥S−ABCD的底面边长和各侧棱长都为√2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为．【答案】【解析】方法一：找球心的位置，易知r=1，h=1，h=r，故球心在正方形的中心ABCD处，R=1，．方法二：大圆是轴截面所截的外接圆，即大圆是的外接圆，此处特殊，的斜边是球半径，2R=2，R=1，．例5：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）六、折叠模型222222俯视图侧视图正视图A．B．C．D．以上都不对【答案】C【解析】法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上，(√3−R)2+1=R2，R=2√3，．法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角形PMN的外接圆是大圆，于是，下略．22RR11PMNO1O例6：三棱锥P−ABC中，平面平面ABC，和均为边长为2的正三角形，七、两直角三角形拼接在一起则三棱锥P−ABC外接球的半径为．【答案】【解析】如图，，r1=r2=2√3，O2H=1√3，R2=O2H2+r12=13+43=53，．法二：O2H=1√3，O1H=1√3，AH=1，R2=AO2=AH2+O1H2+O1O2=53，R=√153．OHBACPO2O1例7：在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B−AC−D，对点增分集训则四面体ABCD的外接球的体积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】2R=AC=5，R=52，，故选C．BCDA一、选择题1．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故，即得，所以该球的体积．2．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，，则该三棱锥的外接球的半径为（）A．3B．6C．D．9【答案】A【解析】因为三棱锥的三条侧棱两两垂直，所以该三棱锥的外接球就是以三棱锥的三条侧棱为棱的长方体的外接球，长方体的外接球的直径等于长方体对角线；所以外接球的半径为．3．在半径为1的球面上有不共面的四个点，，，且，，，则等于（）A．2B．4C．8D．【答案】C【解析】如图，构造长方体，设长方体的长，宽，高分别为，，，则，根据题意，，，则．BCDA4．正四面体的棱长为，顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】正四面体底面三角形的外接圆的半径，正四棱锥顶点到底面的距离为，设正四棱锥的外接球的半径为，则有，即，解得．则所求球的表面积为．5．一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球的表面上，则球的半径为（）A．B．C．D．3【答案】A【解析】球的半径满足直三棱柱底面三角形外接圆半径．．6．已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的半径为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】可判断球心应在连接上下直角三角形斜边中点的线段的中点，那么半径，就是．7．已知三棱锥中，，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，由已知，，，∴面，∴，∴，∴，∴，取的中点，由直角三角形的性质，到，，，的距离均为，其即为三棱锥的外接球球心，故三棱锥的外接球的表面积为．CBAD8．在三棱锥中，与都是边长为的正三角形，平面平面，则该三棱锥的外接球的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】取的中点为，，分别是正三角形和正三角形的中心，是该三棱锥外接球的球心，连接，，，，，，则，分别在，上，平面，平面，，，，所以...
