课时跟踪检测（二十二）向量应用举例一、基本能力达标1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为()A．v1－v2B．v1＋v2C．|v1|－|v2|D.解析：选B由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．2．过点A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为()A．2x＋y－7＝0B．2x＋y＋7＝0C．x－2y＋4＝0D．x－2y－4＝0解析：选A设P(x，y)是所求直线上除A点外的任一点，则·a＝0，又＝(x－2，y－3)，∴2(x－2)＋(y－3)＝0，当x＝2，y＝3时也成立，∴所求的直线方程为2x＋y－7＝0.3．已知△ABC中，BC边最长，＝a，＝b，且a·b＞0，则△ABC的形状为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形解析：选C a·b＝|a|·|b|·cos∠ABC＞0，∴cos∠BAC＞0，∴0°＜∠BAC＜90°，又 BC边最长，则∠BAC为△ABC中最大的角，故△ABC为锐角三角形．4．已知作用在A点的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，且A(1,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为()A．(9,1)B．(1,9)C．(9,0)D．(0,9)解析：选AF＝F1＋F2＋F3＝(8,0)． 起点坐标为A(1,1)，∴终点坐标为(9,1)．故选A.5．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则的长为()A．1B．2C．3D．4解析：选B ＝－＝－，∴＝2＝－·＋，即＝1.∴||＝2，即AC＝2.6．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|等于________．解析：|－＋|＝|＋＋|＝|＋|＝||＝2.答案：27．如图，作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，已知|F1|＝1，|F2|＝2，F1与F2的夹角为，则F3的大小为________．解析： F1，F2，F3三个力处于平衡状态，∴F1＋F2＋F3＝0，即F3＝－(F1＋F2)，∴|F3|＝|F1＋F2|＝＝＝＝.答案：8．一艘船从点A出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际的行驶速度为4km/h，则河水速度的大小为________km/h.解析：如图所示，船实际行驶的速度实际上是船速与水速的合成，由向量加法的几何意义知，|v水|＝＝2.答案：29．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.证明：设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d，所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知可得a2－b2＝c2－d2，所以c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，所以e·(c－d)＝0.因为＝＋＝d－c，所以·＝e·(d－c)＝0，所以⊥，即AD⊥BC.10．某人骑车以速度a向正东方向行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速的大小和方向．解：设实际风速为v，由题意可知，此人以速度a向正东方向行驶时，感到的风速为v－a，当速度为2a时感到的风速为v－2a.如图所示，设OA＝－a，OB＝－2a，PO＝v， PO＋OA＝PA，∴PA＝v－a，这就是速度为a时感到的由正北方向吹来的风速， PO＋OB＝PB，∴PB＝v－2a，这就是速度为2a时感到的由东北方向吹来的风速，由题意知∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，∴△POB为等腰直角三角形，∴∠APO＝45°，|PO|＝|PB|＝|a|，即|v|＝|a|.∴实际风速的大小是|a|，为西北风．二、综合能力提升1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为()A．－1B．1C．2D．－1或2解析：选Dl的方向向量为v＝(－2，m)，由v与(1－m,1)平行得－2＝m(1－m)，∴m＝2或－1.2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为()A．40NB．10NC．20ND．10N解析：选B|F1|＝|F2|＝|F|cos45°＝10，当θ＝120°时，由平行四边形法则知|F合|＝|F1|＝|F2|＝10N.3．共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)作用在物体M上，产生的位移s＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为()A．lg2B．lg5C．1D．2解析：选D F1＋F2＝(1,2lg2)，∴W＝(F1＋F2)·s＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2.4．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次为△ABC的()A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心解析：选C由||＝||＝||，知点O为△ABC的外心．如图， ＋＋＝0，∴＋＝－.依向量加法的平行四边形法则，知||＝2|...
