三角函数的图象与性质及其应用(30分钟50分)一、选择题(每小题3分，共18分)1.设函数f(x)=cos(2x-π)，x∈R，则f(x)是()A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数【解析】选B.因为f(x)=cos(2x-π)=cos(π-2x)=-cos2x，所以f(x)是最小正周期为π的偶函数.【补偿训练】下列函数中，最小正周期为的是()A.y=sinB.y=tanC.y=cosD.y=tan【解析】选B.A，C最小正周期为π，B最小正周期为，D最小正周期为.2.(2015·朔州高一检测)函数y=sin的单调增区间是()A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)【解析】选C.y=sin=-sin，由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，所以函数y=sin的单调增区间是，k∈Z.13.把函数f(x)=sin的图象向右平移个单位可以得到函数g(x)的图象，则g等于()A.-B.C.-1D.1【解析】选D.函数f(x)=sin的图象向右平移个单位，可以得到函数g(x)=f的图象，所以g(x)=sin=sin(-2x+π)=sin2x，所以g=sin=1.【补偿训练】将函数y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为()A.y=sinB.y=sinC.y=sinxD.y=sin【解析】选D.将函数y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=sin，再将所得图象向左平移个单位，得到y=sin=sin的图象.4.(2015·重庆高一检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是()A.f(x)=2sinB.f(x)=2sinC.f(x)=2sinD.f(x)=2sin2【解析】选B.由图象知A=2，=4×=2π，故ω=1，所以f(x)=2sin(x+φ)，把x=，y=-2代入上式得-2=2sin，故sin=-1，所以+φ=2kπ+，k∈Z，φ=2kπ+，k∈Z，又0<φ<，所以φ=.所以f(x)=2sin.5.(2015·湖南高考)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足=2的x1，x2有=，则φ=()A.B.C.D.【解题指南】本题主要考查三角函数的平移变换及三角函数的图象与性质，考虑特殊情况下才能成立，从而求解.【解析】选D.向右平移φ个单位后，得到g(x)=sin(2x-2φ)，又因为|f(x1)-g(x2)|=2，所以不妨令2x1=+2kπ，2x2-2φ=-+2mπ，所以x1-x2=-φ+(k-m)π，又因为|x1-x2|min=，所以-φ=⇒φ=.6.(2015·揭阳高一检测)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，当x∈时，f(x)=log2(1-x)，则f(2014)+f(2016)=()A.-1B.-2C.1D.2【解析】选A.因为函数f(x)的最小正周期为3，3所以f(2014)=f(3×671+1)=f(1)，f(2016)=f(3×672)=f(0)，又f(x)是奇函数，当x∈时f(x)=log2(1-x)，所以f(0)=0，f(1)=-f(-1)=-log22=-1，所以f(2014)+f(2016)=f(1)+f(0)=-1+0=-1.二、填空题(每小题4分，共12分)7.(2015·扬州高一检测)将函数y=sinx的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，则所得函数图象的对称中心坐标为________.【解析】y=sinx的图象上所有点向左平移个单位长度.得到函数y=sin的图象，再把所得各点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin的图象，由+=kπ，k∈Z得x=3kπ-π，k∈Z.所得函数图象的对称中心坐标为(3kπ-π，0)，k∈Z.答案：(3kπ-π，0)(k∈Z)【补偿训练】函数y=tan的对称中心是____________.【解析】由+=得x=kπ-，k∈Z，函数对称中心是，k∈Z.答案：，k∈Z8.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=cos3x-sin2x，则当x<0时，f(x)的表达式为__________.【解析】当x<0时，-x>0，因为x>0时f(x)=cos3x-sin2x，所以f(-x)=cos3(-x)-sin2(-x)=cos3x+sin2x，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-cos3x-sin2x.答案：f(x)=-cos3x-sin2x49.已知函数g(x)=2sin+1，当x∈时方程g(x)=m恰有两个不同的实根x1，x2，则x1+x2=________.【解析】由g=2sin+1=3知函数g(x)的一条对称轴为x=，又∈，所以有=，所以x1+x2=.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2015·北京高一检测)已知函数f(x)=2sin.(1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的图象(先列表，再画图).(2)求f(x)的单调增区间.(3)求f(x)在上的取值范围.【解析】(1)函数f(x)=2sin的周期T=3，列表如下：x+0π2πx-2f(x)...
