培优点十九圆锥曲线综合1．直线过定点例1：已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，过左焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且．（1）求的方程；（2）若直线是圆上的点处的切线，点是直线上任一点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，设切线的斜率都存在．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）；（2）证明见解析，．【解析】（1）由已知，设椭圆的方程为，因为，不妨设点，代入椭圆方程得，又因为，所以，，所以，，所以的方程为．（2）依题设，得直线的方程为，即，设，，，由切线的斜率存在，设其方程为，联立得，，由相切得，化简得，即，因为方程只有一解，所以，所以切线的方程为，即，同理，切线的方程为，又因为两切线都经过点，所以，所以直线的方程为，又，所以直线的方程可化为，即，令，得，所以直线恒过定点．2．面积问题例2：已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为4，直线与椭圆相交于、两点，关于直线的对称点在椭圆上．斜率为的直线与线段相交于点，与椭圆相交于、两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形面积的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由椭圆焦距为4，设，，连结，设，则，又，得，，，解得，，所以椭圆方程为．（2）设直线方程：，、，由，得，所以，由（1）知直线：，代入椭圆得，，得，由直线与线段相交于点，得，，而与，知，，由，得，所以，四边形面积的取值范围．3．参数的值与范围例3：已知抛物线的焦点，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于，两点．（1）求抛物线的方程以及的值；（2）记抛物线的准线与轴交于点，若，，求的值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）抛物线的焦点，，则，抛物线方程为；点在抛物线上，．（2）依题意，，设，设、，联立方程，消去，得．所以①，且，又，则，即，代入①得，消去得，，则，，则，当，解得，故．4．弦长类问题例4：已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆
