4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用【基础练习】1．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程是()A．x＋y－2＝0B．x＋y－4＝0C．x－y＋4＝0D．x－y＋2＝0【答案】D【解析】把点(1，)代入切线方程排除A，C，由圆心到切线距离为半径，可知选D．2．半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为()A．x2＋y2－6x－8y＝0B．x2＋y2＋6x－8y＝0C．x2＋y2＋6x＋8y＝0D．x2＋y2－6x－8y＝0或x2＋y2－6x＋8y＝0【答案】B【解析】已知圆的圆心为(3，－4)，半径为5，所求圆的半径也为5，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－3,4)，可知选B．3．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是()A．{1，－1}B．{3，－3}C．{1，－1,3，－3}D．{5，－5,3，－3}【答案】C【解析】因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切．内切时|a|＝2－1＝1，外切时|a|＝2＋1＝3，所以实数a的取值集合是{1，－1,3，－3}．故选C．4．(2019年广西玉林月考)若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是()A．r<＋1B．r>＋1C．|r－|<1D．|r－|≤1【答案】D【解析】由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝1，两圆圆心之间的距离为＝. 两圆有公共点，∴|r－1|≤≤r＋1，∴－1≤r≤＋1，即－1≤r－≤1，∴|r－|≤1.5．圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的公共弦所在直线方程是________．【答案】x－y＝0【解析】两圆的方程相减得2x－2y＝0，即x－y＝0，这就是所求公共弦所在直线方程．6．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．【答案】3－5【解析】由已知得C1(4,2)，r1＝3，C2(－2，－1)，r2＝2，|C1C2|＝＝3＞r1＋r2＝5，两圆外离，∴|PQ|min＝|C1C2|－r1－r2＝3－5.7．求圆心为(2,1)且与已知圆x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程．【解析】设所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，①已知圆的方程为x2＋y2－3x＝0，②②－①得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，又此直线经过点(5，－2)，∴5－4－5＋r2＝0.∴r2＝4，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.8．已知圆M：x2＋y2＝10和圆N：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0，求过两圆交点且面积最小的圆的方程．【解析】设两圆交点为A，B，则以AB为直径的圆就是所求的圆．直线AB的方程为x＋y－2＝0.两圆圆心连线的方程为x－y＝0.解方程组得圆心坐标为(1,1)．圆心M(0,0)到直线AB的距离为d＝，弦AB的长为|AB|＝2＝4，所以所求圆的半径为2.所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝8.【能力提升】9．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是()A．B．1C．D．2【答案】C【解析】x2＋y2－8x＋15＝0化成标准方程为(x－4)2＋y2＝1，该圆的圆心为M(4,0)，半径为1.根据题意，只需圆心M(4,0)到直线y＝kx－2的距离d≤1＋1即可，所以d＝≤2，解得0≤k≤，即k的最大值是.10．如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为()A．14米B．15米C．米D．2米【答案】D【解析】如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，－2)，设圆的半径长为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.将点A的坐标代入上述方程可得r＝10，∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，当水面下降1米后，水面弦的端点为A′，B′，可设A′(x0，－3)(x0>0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得x0＝，∴水面宽度|A′B′|＝2米．11．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．【答案】(x－2)2＋(y－2)2＝2【解析】曲线化为(x－6)2＋(y－6)2＝18，其圆心C1(6,6)到直...
