高中数学 课时跟踪检测（十一）夹角的计算 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学试题VIP专享VIP免费

课时跟踪检测（十一）夹角的计算一、基本能力达标1．已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A.B.C.D.解析：选A建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝2AB＝2，则B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，C1(0,1,2)，故DB＝(1,1,0)，DC1＝(0,1,2)，DC＝(0,1,0)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则y＝－2，x＝2，所以平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设直线CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，DC〉|＝＝，故选A.2．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为()A．0B.C．－D.解析：选A建立如图坐标系，则D1(0,0,3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，∴BD1＝(－2，－2,3)，AC＝(－2,2,0)．∴cos〈BD1，AC〉＝＝0.∴〈BD1，AC〉＝90°，其余弦值为0.3．正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1C1，AB的中点，则A1B1与截面A1ECF所成的角的正切值为()A.B.C.D.解析：选A设棱长为2，建立以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，则平面A1ECF的一个法向量为n＝(－2,1,1)，A1B1的方向向量为(2,0,0)，设A1B1与截面A1ECF的夹角为θ，则sinθ＝|cos〈n，A1B1〉|＝＝，cosθ＝，∴tanθ＝.4．正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD.若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选B建系如图，设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，P(0,0,1)，D(1,0,0)，C(1,1,0)．平面PAB的法向量为n1＝(1,0,0)．设平面PCD的法向量n2＝(x，y，z)，则得令x＝1，则z＝1.∴n2＝(1,0,1)，cos〈n1，n2〉＝＝.∴平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值为.1∴此角的大小为45°.5.如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，O为BC中点，设三棱柱的棱长为2a，则点A(a,0,0)，B(0，a,0)，B1(0，a,2a)，M(0，－a，a)，AB1＝(－a，a,2a)，BM＝(0，－2a，a)，所以AB1·BM＝0，因此异面直线AB1与BM所成的角为90°.答案：90°6.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是平面A1B1C1D1的中心，则BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为________．解析：建立空间直角坐标系如图，则B(1,1,0)，O，DA1＝(1,0,1)是平面ABC1D1的一个法向量．又OB＝，∴BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为＝＝.答案：7.如图所示，已知在四面体ABCD中，O为BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.(1)求证：AO⊥平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．解：(1)证明：因为BO＝DO，AB＝AD，所以AO⊥BD.因为BO＝DO，BC＝CD，所以CO⊥BD.在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝，而AC＝2，所以AO2＋CO2＝AC2，所以∠AOC＝90°，即AO⊥OC.因为BD∩OC＝O，所以AO⊥平面BCD.(2)以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0，，0)，A(0,0,1)，BA＝(－1,0,1)，CD＝(－1，－，0)，所以cos〈BA，CD〉＝＝，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.8．(2019·全国卷Ⅰ)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．2(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求二面角AMA1N的正弦值．解：(1)证明：如图，连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D.由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED.又MN⊄平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)由已知可得DE⊥DA，以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，，2)，N(1,0,2)，A1A＝(0,0，－4)，A1M＝(－1，，－2)，A1N＝(－1,0，－2)，MN＝(0，－，0)．设m＝(x，y，z)为平面A1MA的法向量，则所以可取m＝(，1,0)．设n＝(p，q，r)为平面A1MN的法向量，则所以可取n＝(2,0，－1)．于是cos〈m，n〉＝＝＝，所以二面角AMA1N的正弦值为.二、综合能力提升1．在长方体ABCDA1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的...