第三章3.2第2课时抛物线的简单性质一、选择题1．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点()A．(4,0)B．(2,0)C．(0,2)D．(0，－2)[答案]B[解析] 圆心到直线x＋2＝0的距离等于到抛物线焦点的距离，∴定点为(2,0)．2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为()A．B．C．D．2[答案]C[解析]本题考查了抛物线的定义、三角形面积的求法及数形结合的应用．设∠AFx＝θ(0<θ<π)及|BF|＝m；由点A到准线l：x＝－1的距离为3，得：3＝2＋3cosθ⇔cosθ＝，又m＝2＋mcos(π－θ)⇔m＝＝，△AOB的面积为S＝×|OF|×|AB|×sinθ＝×1×(3＋)×＝.故选C．在解决解析几何有关问题时，要加强与图形的结合，合理的选取方法求解．3．(2013·新课标Ⅰ文，8)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为()A．2B．2C．2D．4[答案]C[解析]设P点坐标为(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF|＝x0＋＝4，x0＝3，代入抛物线的方程，得|y0|＝2，S△POF＝|y0|·|OF|＝2，选C．4．若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值是()A．2B．C．D．[答案]D[解析]如图所示，|PQ|min＝|PA|min－1，|PA|＝(x－3)2＋y2＝x2－5x＋9＝(x－)2＋，∴|PA|min＝.∴|PQ|min＝－1＝.5．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－2B．2C．－4D．4[答案]D[解析]椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)所以抛物线y2＝2px的焦点为(2,0)则p＝4.6．已知圆x2＋y2－9x＝0，与顶点在原点O，焦点在x轴上的抛物线交于A、B两点，△OAB的垂心恰为抛物线的焦点，则抛物线的方程为()A．y2＝4xB．x2＝4yC．y2＝－4xD．x2＝－4y[答案]D[解析]依题意设所求抛物线方程为y2＝2px(p>0)，焦点F，A(x0，y0)，B(x0，－y0)，则∴x＋(2p－9)x0＝0.① OA⊥BF，∴kOA·kBF＝－1.∴·＝－1，即＝－1.∴x0＝p.②把②代入①得p＝2.∴所求抛物线方程为y2＝4x.二、填空题7．下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________________米．[答案]2[解析]本题考查了抛物线的标准方程与数学建模能力．设抛物线方程为x2＝－2py，代入P(2，－2)得2p＝2，∴x2＝－2y，当y＝－3时，x2＝6，∴x＝±，则此时水面宽为2米，建立平面直角坐标系，将实际问题转化为数学问题．8．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________________．[答案][解析]由条件B(，1)代入y2＝2px得1＝2p×，∴p2＝2，∴p＝，∴B(，1)，故d＝.三、解答题9．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．[解析]如图所示，依题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则直线方程为y＝－x＋p.设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋p＝8①又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，由消去y得，x2－3px＋＝0，∴x1＋x2＝3p.将其代入①得p＝2，∴所求抛物线方程为y2＝4x.当抛物线方程为y2＝－2px(p>0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.10．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A、B两点．(1)求证：OA⊥OB．(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．[分析](1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用平面解析几何的知识证kOA·kOB＝－1，从而证得OA⊥OB．(2)设直线AB和x轴的交点为N，利用S△OAB＝|ON|·|y1－y2|求k的值．[解析](1)证明：如图所示，由方程组消去x后，整理，得ky2＋y－k＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得y1y2＝－1. A，B在抛物线y2＝－x上，∴y＝－x1，y＝－x.∴y·y＝x1x2.∴kOA·kOB＝·＝＝＝－1，∴OA⊥OB．(2)设直线AB与x轴交于点N，显然k≠0.令y＝0，则x＝－1，即N(－1,0)． S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON|·|y1－y2|，∴S△OAB＝·1·＝. S△OAB＝，∴＝.解得k＝±.一、选择题1．若抛物线x2＝2y上距离点A(0，a)的最近点恰好是抛物线的顶点，...
