【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第2章几个重要的不等式学业分层测评13数学归纳法的应用北师大版选修4-5(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n≥2)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边()A．增加了一项B．增加了两项和C．增加了B中的两项但减少了一项D．以上均不正确【解析】由－＝＋－＝－.故选C.【答案】C2．利用数学归纳法证明不等式“n2<2n对于n≥n0的正整数n都成立”时，n0应取值为()A．1B．3C．5D．7【解析】12<21,22＝22,32>23,42＝24，利用数学归纳法验证n≥5，故n0的值为5.【答案】C3．对于不等式
对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为()A．12B．13C．14D．不存在【解析】令f(n)＝＋＋…＋，易知f(n)是单调递增的．1∴f(n)的最小值为f(2)＝＋＝.依题意>，∴m<14.因此取m＝13.【答案】B二、填空题6．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”时，第一步的验证为__________.【导学号：94910041】【解析】当n＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立．【答案】21＋1≥12＋1＋27．观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，则可归纳出__________．【答案】1＋＋＋…＋<(n≥2，n∈N＋)8．用数学归纳法证明≥(a，b是非负实数，n∈N＋)时，假设n＝k时不等式≥(*)成立，再推证n＝k＋1时不等式也成立的关键是将(*)式同乘__________．【解析】要想办法出现，两边同乘以，右边也出现了要求证的.【答案】三、解答题9．设a，b为正实数，证明：对任意n∈N＋，有(a＋b)n≥an＋n·an－1b.【证明】由(1＋x)n≥1＋nx(x≥－1，n∈N＋)，∴n≥1＋，即≥1＋，∴(a＋b)n≥an＋n·，故(a＋b)n≥an＋nb·an－1.10．设01，又a1＝1＋a<，∴当n＝1时，命题成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题1(1－a)＋a＝1，同时，ak＋1＝＋a<1＋a＝<，当n＝k＋1时，命题也成立，即1－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标是()A.＋＋…＋>－B.＋＋…＋>－C.＋＋…＋>－D.＋＋…＋>－【解析】注意不等式两边含变量“n”的式子，因此当n＝k＋1时，应该是含“n”的式子发生变化，所以n＝k＋1时，应为＋＋…＋＋>－.【答案】A2．若k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱对角面的个数为()A．2f(k)B．k－1＋f(k)2C．f(k)＋kD．f(k)＋2【解析】由n＝k到n＝k＋1时增加的对角面的个数与底面上由n＝k到n＝k＋1时增加的对角线一样，设n＝k时，底面为A1A2…Ak，n＝k＋1时底面为A1A2A3…AkAk＋1，增加的对角线为A2Ak＋1，A3Ak＋1，A4Ak＋1，…，Ak－1Ak＋1，A1Ak，共有(k－1)条，因此对角面也增加了(k－1)个．【答案】B3．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线的交点的个数，则f(4)＝______；当n>4时，f(n)＝____________________(用n表示).【导学号：94910042】【解析】f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．∴f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，…，f(n)－f(n－1)＝n－1.累加，得f(n)－f(3)＝3＋...
