直线与双曲线例题1．（1）过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。（2）直线与双曲线相交于A、B两点，当为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？解析：（1）解：若直线的斜率不存在时，则，此时仅有一个交点，满足条件；若直线的斜率存在时，设直线的方程为则，，∴，，当时，方程无解，不满足条件；当时，方程有一解，满足条件；当时，令，化简得：无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条和。（2）把代入整理得：……（1）当时，。由>0得且时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点。若A、B在双曲线的同一支，须>0，所以或。故当或时，A、B两点在同一支上；当时，A、B两点在双曲线的两支上。点评：与双曲线只有一个公共点的直线有两种。一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线。另一种是与双曲线相切的直线也有两条。2．（1）求直线被双曲线截得的弦长；（2）求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程。用心爱心专心解析：由得得（*）设方程（*）的解为，则有得，（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为，它被双曲线截得的弦为对应的中点为，由得（*）设方程（*）的解为，则，∴，且，∴，得或。方法二：设弦的两个端点坐标为，弦中点为，则得：，∴，即，即（图象的一部分）点评：（1）弦长公式；（2）有关中点弦问题的两种处理方法。用心爱心专心3．过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，求该双曲线离心率的范围。解析：设双曲线的方程为，，渐近线，则过的直线方程为，则，代入得，∴即得，∴，即得到。点评：直线与圆锥曲线的位置关系经常和圆锥曲线的几何要素建立起对应关系，取值范围往往与判别式的取值建立联系。4.直线m：y=kx+1和双曲线x2－y2=1的左支交于A、B两点，直线l过点P（－2，0）和线段AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围。分析：本题的目标是求参数b的取值范围，与例3中第（2）问，在方法上相同，一方面，由直线m与双曲线左支交于两点，可得关于k、b的不等式，Δ=f(k，b)>0，但应注意A、B两点的横坐标xA，xB均小于0；另一方面，由直线l过P及AB中点，又可得到关于k，b的等量关系g(k，b)=0，联立f(k，b)>0及g(k，b)=0，可求b的取值范围。解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为M（x0，y0），则由题意，得注：求b的取值范围，即求以k为自变量的函数b=f(k)的值域。∴，且≠ggkggk()()()()210用心爱心专心例5.从双曲线的右焦点引直线，使其与一条渐近线垂直相xyFll2218161交于A，与另一渐近线l2交于点B，求证：线段AB被双曲线的左准线平分。分析：本题的一般思路为：设出l的点斜式方程→分别与l1，l2的方程联立，表出A，B坐标→求出AB中点M的坐标，→验证点M在双曲线的左准线上。事实上，由于一元二次方程，利用韦达定理，可得xA+xB，进而可求得xM。解法一：（求A，B交点坐标）∵l⊥l2经验证，M在左准线上，故线段AB被双曲线的左准线平分。解法2：用心爱心专心∴AB的中点M在左准线上，即线段AB被双曲线的左准线平分。用心爱心专心用心爱心专心7，设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；用心爱心专心（2）过点作直线双曲线的右支于两点，试确定的范围，使，其中点为坐标原点．解法一：（1）在中，，即，，即（常数），点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线．方程为：．（2）设，①当垂直于轴时，的方程为，，在双曲线上．即，因为，所以．②当不垂直于轴时，设的方程为．由得：，由题意知：，所以，．于是：．因为，且在双曲线右支上，所以．由①②知，．解法二：（1）同解法一（2）设，，的中点为．①当时，，因为，所以用心爱心专心；②当时，．又．所以；由得，由第二定义得．所以．于是由得因为，所以，又，解得：．由①②知．20，已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．20．解：由条件知，，设，．解法一：（I）设，则则，，，由得即用心爱心专心
