4.1曲线与方程1.下列命题正确的是()A.方程=1表示斜率为1,在y轴上的截距是2的直线B.△ABC的顶点坐标分别为A(0,3),B(-2,0),C(2,0),则中线AO的方程是x=0C.到x轴距离为5的点的轨迹方程是y=5D.曲线2x2-3y2-2x+m=0通过原点的充要条件是m=0解析:选项A中直线不过(0,2)点;选项B中中线AO是线段;选项C中轨迹方程应是y=±5.故选项A,B,C都错误,选D.答案:D2.已知P1(x1,y1)是直线l:f(x,y)=0上的一点,P2(x2,y2)是直线l外一点,则方程f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0表示的直线l'与直线l的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.斜交解析: 点P1(x1,y1)在直线l:f(x,y)=0上,∴f(x1,y1)=0.∴f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=f(x,y)+f(x2,y2)=0,即l'为f(x,y)=-f(x2,y2).又 点P2(x2,y2)在直线l外,则f(x2,y2)=k≠0.∴l'为f(x,y)=-k,即f(x,y)+k=0.答案:A3.▱ABCD的顶点A,C的坐标分别为(3,-1),(2,-3),顶点D在直线3x-y+1=0上移动,则顶点B满足的方程为()A.3x-y-20=0B.3x-y-10=0C.3x-y-12=0D.3x-y-9=0解析:设AC,BD交于点P, 点A,C的坐标分别为(3,-1),(2,-3),∴P点坐标为.设B为(x,y),则D为(5-x,-4-y), 点D在直线3x-y+1=0上,∴15-3x+4+y+1=0,即3x-y-20=0.答案:A4.方程4x2-y2+4x+2y=0表示的曲线是()A.一个点B.两条互相平行的直线C.两条互相垂直的直线D.两条相交但不垂直的直线解析: 4x2-y2+4x+2y=0,∴(2x+1)2-(y-1)2=0,∴2x+1=±(y-1),∴2x+y=0或2x-y+2=0,这两条直线相交但不垂直.答案:D5.已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足+λ,λ∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:令=e1,=e2,则由已知,得=λ(e1+e2),即=λe1+λe2.由平行四边形法则且得到的平行四边形是菱形,知AP是∠BAC的平分线,故选B.答案:B6.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P满足的方程的曲线所围成的图形的面积为()A.πB.4πC.8πD.9π解析:设P为(x,y),由|PA|=2|PB|,得=2,即(x-2)2+y2=4,∴点P满足的方程的曲线是以2为半径的圆,其面积为4π.答案:B7.已知0≤α<2π,点P(cosα,sinα)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为.解析:(cosα-2)2+sin2α=3,得cosα=,所以α=.答案:18.若两直线x+y=3a,x-y=a的交点在方程x2+y2=1所表示的曲线上,则a=.解析: ∴交点坐标为(2a,a).又该点在x2+y2=1上,∴(2a)2+a2=1,∴a=±.答案:±9.已知☉O的方程是x2+y2-2=0,☉O'的方程是x2+y2-8x+10=0,由动点P向☉O和☉O'所引的切线长相等,则动点P的轨迹方程是.解析:由☉O:x2+y2=2,☉O':(x-4)2+y2=6,知两圆相离.设由动点P向☉O和☉O'所引的切线与☉O和☉O'的切点分别为T,Q,则|PT|=|PQ|,而|PT|2=|PO|2-2,|PQ|2=|PO'|2-6,∴|PO|2-2=|PO'|2-6.设P(x,y),即得x2+y2-2=(x-4)2+y2-6,即x=.答案:x=10.已知点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上,点P也在曲线g(x,y)=0上,求证:点P在曲线f(x,y)+λg(x,y)=0上(λ∈R).证明:因为点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上,所以f(x0,y0)=0.又因为点P(x0,y0)也在曲线g(x,y)=0上,所以g(x0,y0)=0.所以对λ∈R,有f(x0,y0)+λg(x0,y0)=0+λ·0=0,即点P(x0,y0)适合方程f(x,y)+λ·g(x,y)=0.所以点P在曲线f(x,y)+λg(x,y)=0上(λ∈R).11.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,l1交x轴于点A,l2交y轴于点B,求线段AB的中点M的轨迹方程.解法一:如下图,设点M的坐标为(x,y). M为线段AB的中点,∴点A的坐标为(2x,0),点B的坐标为(0,2y). l1⊥l2,且l1,l2过点P(2,4),∴PA⊥PB,∴kPA·kPB=-1.而kPA=(x≠1),kPB==2-y,∴·=-1(x≠1).整理,得x+2y-5=0(x≠1). 当x=1时,A,B的坐标分别为(2,0),(0,4),∴线段AB的中点坐标是(1,2),也满足方程x+2y-5=0.综上所述,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.解法二:如下图,设M的坐标为(x,y),则A,B两点的坐标分别是(2x,0),(0,2y),连接PM. l1⊥l2,∴2|PM|=|AB|.而|PM|=,|AB|=,∴2,化简,得x+2y-5=0为所求轨迹方程.解法三:如图,设点M的坐标为(x,y),连接PM,OM.由l1⊥l2,知A,O,B,P四点共圆,AB为圆的直径,M为圆心,则有|OM|=|MP|.2∴.化简,得x+2y-5=0为所求轨迹方程.12.如图所示,从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N,求线段QN的中点P满足的方程.解:设P点坐标为(x,y),双曲线上点Q的坐标为(x0,y0). 点P为线段...
