高中数学 2.2 三角形中的几何计算同步精练 北师大版必修5-北师大版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

高中数学2.2三角形中的几何计算同步精练北师大版必修5基础巩固1在△ABC中，等于()A.B.C.D.2在△ABC中，已知C＝60°，b＝4，则BC边上的高等于()A.B．2C．4D．63在△ABC中，BC＝1，B＝，当△ABC的面积等于时，sinC＝______.4在△ABC中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，则△ABC的面积等于______．5若△ABC面积为，c＝2，A＝60°，求b、a的值．6在△ABC中，已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形．7已知三角形的一个角为60°，面积为10cm2，周长为20cm，求此三角形各边长．8已知△ABC三边的长分别为a＝41.4cm，b＝27.3cm，c＝38.7cm.求此三角形的面积．综合过关9半径为1的圆内接三角形的面积为0.25，求此三角形三边长的乘积．10在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，且2cos(A＋B)＝1，求：(1)角C的度数；(2)AB的长度；(3)△ABC的面积．11已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积．能力提升12在△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角．(1)求最大角的余弦值；(2)求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积．参考答案1答案：C2解析：BC边上的高等于bsinC＝6.答案：D3解析：△ABC的面积S＝acsinB＝，解得c＝4，所以b＝＝，所以cosC＝＝－，所以sinC＝.答案：4解析：由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos30°，∴AC2－2AC＋3＝0.∴AC＝.S△ABC＝AB·ACsin30°＝×2××＝.答案：5分析：本题为三角形面积的应用，主要是构建方程求得a、b.1解：根据题意：S＝bc·sinA＝bsin60°＝，∴b＝1.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝3，∴a＝.6分析：欲证△ABC为等腰三角形，可利用余弦定理证明两边相等．证明：由余弦定理，得cosC＝.又cosC＝，∴＝.整理得b2＝c2.∴b＝c.∴△ABC是等腰三角形．7分析：此题条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但都与边或角相关，故可设出边长，利用所给的条件列出方程求解．解：设三角形的三条边长为a，b，c，B＝60°，则依题意，得∴由①式得b2＝[20－(a＋c)]2＝400＋a2＋c2＋2ac－40(a＋c)．④将②代入④得400＋3ac－40(a＋c)＝0，再将③代入④得a＋c＝13.由得或∴b＝7.∴该三角形的三边长为5cm,7cm,8cm.8解：根据余弦定理的推论，得cosB＝＝≈0.7697，sinB＝≈≈0.6384.应用S＝casinB，得S≈×38.7×41.4×0.6384≈511.4(cm2)．9分析：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：＝＝＝2R，其中R为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式S△ABC＝acsinB发生联系，对abc进行整体求解．解：设△ABC三边为a，b，c，则S△ABC＝acsinB，∴＝＝.又＝2R，其中R为三角形外接圆半径，∴＝.∴abc＝4RS△ABC＝4×1×0.25＝1.∴三角形三边长的乘积为1.10分析：(1)利用三角形的内角和求得cosC；(2)利用余弦定理求AB的长度；(3)利用S＝absinC求△ABC的面积．解：(1)cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－.∵0°＜C＜180°，∴C＝120°.(2)由题设得∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab2＝(2)2－2＝10.所以AB＝.(3)S△ABC＝absinC＝×2×＝.11分析：先将所求面积转化为用某个角的三角函数表示，再利用对角互补及余弦定理求出该角即可．解：如图，连接BD，则有四边形ABCD的面积S＝S△ABD＋S△CDB＝AB·ADsinA＋BC·CDsinC.∵A＋C＝180°，∴sinA＝sinC.故S＝(AB·AD＋BC·CD)sinA＝(2×4＋6×4)sinA＝16sinA.由余弦定理，在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA＝20－16cosA，在△CDB中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcosC＝52－48cosC，∴20－16cosA＝52－48cosC.∵cosC＝－cosA，∴64cosA＝－32.∴cosA＝－.又0°＜A＜180°，∴A＝120°.故S＝16sin120°＝8.12分析：利用最大角的余弦值小于0解得三边长，再用余弦定理得最大角的余弦值；(2)转化为求二次函数的最大值．解：(1)设三边a＝k－1，b＝k，c＝k＋1，k∈N＋且k＞1，故角C为钝角．∴cosC＝＝＜0.解得1＜k＜4.∵k∈N＋，∴k＝2或3，但k＝2时不能构成三角形，应舍去．当k＝3时，a＝2，b＝3，c＝4，由余弦定理，得cosC＝＝－.(2)设角C的两边分别为x，y，则x＋y＝4，∴y＝4－x.S＝2(xysinC)＝(－x2＋4x)＝－(x－2)2＋.则当x＝2时，平行四边形的面积取最大值.34