高考大题规范练(五)平面解析几何1．已知椭圆C：＋y2＝1的上、下顶点分别为A，B，点P在椭圆上，且异于点A，B，直线AP，BP与直线l：y＝－2分别交于点M，N。(1)设直线AP，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；(2)求线段MN长的最小值。解(1)证明：由题意，A(0,1)，B(0，－1)，令P(x0，y0)，则x0≠0，∴直线AP的斜率k1＝，BP的斜率k2＝。又点P在椭圆上。∴＋y＝1(x0≠0)，从而有k1k2＝＝＝－。即k1k2为定值。(2)由题设可以得到直线AP的方程为y－1＝k1(x－0)，直线BP的方程为y－(－1)＝k2(x－0)，由得由得∴直线AP与直线l的交点M，直线BP与直线l的交点N。又k1k2＝－，∴|MN|＝＝＝＋|4k1|≥2＝4，当且仅当＝|4k1|，即k1＝±时取等号，故线段MN长的最小值是4。2．(2015·北京西城模拟)已知A，B是抛物线W：y＝x2上的两个点，点A的坐标为(1,1)，直线AB的斜率为k(k>0)。设抛物线W的焦点在直线AB的下方。(1)求k的取值范围；(2)设C为W上一点，且AB⊥AC，过B，C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D，判断四边形ABDC是否为梯形，并说明理由。解(1)抛物线y＝x2的焦点为。由题意，得直线AB的方程为y－1＝k(x－1)，令x＝0，得y＝1－k，即直线AB与y轴相交于点(0,1－k)。因为抛物线W的焦点在直线AB的下方，所以1－k>，解得k<。因为k>0，所以0b>0)过点P(－1，－1)，c为椭圆的半焦距，且c＝b。过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N。(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l1的斜率为－1，求△PMN的面积；(3)若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程。解(1)由条件得＋＝1，又c2＝2b2，所以a2＝3b2，所以b2＝，a2＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1。(2)易知l1的方程为y＋1＝－(x＋1)，即y＝－x－2。由消去y，得x2＋3x＋2＝0，所以M(－2,0)，同理易得N(1,1)。因为P(－1，－1)，所以|PM|＝，|PN|＝2，所以△PMN的面积为××2＝2。(3)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋3(y1＋y2)(y1－y2)＝0。因为线段MN的中点在x轴上，所以y1＋y2＝0，从而可得(x1＋x2)(x1－x2)＝0。若x1＋x2＝0，则N(－x1，－y1)。因为PM⊥PN，所以PM·PN＝0，得x＋y＝2。又因为x＋3y＝4，所以x1＝±1，所以M(－1,1)，N(1，－1)或M(1，－1)，N(－1,1)，所以直线MN的方程为y＝－x。若x1－x2＝0，则N(x1，－y1)。因为PM⊥PN，所以PM·PN＝0，得y＝(x1＋1)2＋1。又因为x＋3y＝4，所以x1＝－或x1＝－1。经检验：x＝－满足条件，x＝－1不满足条件。综上，直线MN的方程为x＋y＝0或x＝－。4.如图，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为。(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程。解(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1,0)，B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点。设C1的半焦距为c，由＝及a2－c2＝b2＝1得a＝2。∴a＝2，b＝1。(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x2＝1(y≥0)。易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入C1的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0。(*)设点P的坐标为(xP，yP)， 直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根。由根与系数的关系，得xP＝，从而yP＝－，∴点P的坐标为。同理，由得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)。∴AP＝(k，...
